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库仑碰撞截面在等离子体粒子模拟中的应用

宋萌萌 周前红 孙强 杨薇 董烨

宋萌萌, 周前红, 孙强, 等. 库仑碰撞截面在等离子体粒子模拟中的应用[J]. 强激光与粒子束. doi: 10.11884/HPLPB202133.20179
引用本文: 宋萌萌, 周前红, 孙强, 等. 库仑碰撞截面在等离子体粒子模拟中的应用[J]. 强激光与粒子束. doi: 10.11884/HPLPB202133.20179
Song Mengmeng, Zhou Qianhong, Sun Qiang, et al. Application of coulomb collision cross-section in particle-in-cell simulation of plasma[J]. High Power Laser and Particle Beams. doi: 10.11884/HPLPB202133.20179
Citation: Song Mengmeng, Zhou Qianhong, Sun Qiang, et al. Application of coulomb collision cross-section in particle-in-cell simulation of plasma[J]. High Power Laser and Particle Beams. doi: 10.11884/HPLPB202133.20179

库仑碰撞截面在等离子体粒子模拟中的应用

doi: 10.11884/HPLPB202133.20179
详细信息
    作者简介:

    宋萌萌(1990—),男,硕士研究生,从事等离子体数值模拟研究;simon9317@163.com

    通讯作者:

    周前红(1983—),男,博士,副研究员,从事等离子体理论与数值模拟研究;zhou_qianhong@qq.com

  • 中图分类号: O411.3

Application of coulomb collision cross-section in particle-in-cell simulation of plasma

  • 摘要: 在等离子体粒子模拟中,TA模型和NanBu模型被广泛用于处理库仑碰撞,这两种模型要求每个时间步长内全部粒子参与计算。为了降低参与碰撞的粒子数,提高库仑碰撞的计算效率,提出了一种基于截面的库仑碰撞模拟方法,并给出了库仑碰撞概率的计算公式。采用该方法对不同温度不同密度电子气的弛豫过程进行模拟,分别对比了电子速度分布函数、电子温度以及电子xy方向上的温度与电子温度之比的模拟值与理论值,验证了该方法的准确性。在相同的小时间步长上,该方法相比TA模型计算效率提升可达40%以上。对于较大的时间步长,该方法仍能得到与理论解近似的模拟结果,相比Nanbu模型,在相同的精度下可取更大的时间步长,计算效率也有所提升。研究表明,该方法同样适用于电子-离子碰撞。因此在提高库仑碰撞计算效率上,该方法具有碰撞粒子数少以及适用于大时间步长的优势。
  • 图  1  电子气弛豫的模拟流程

    Figure  1.  Simulation process of electron gas’ relaxation

    图  2  (电子-电子碰撞)不同库仑碰撞截面下电子x, y方向的温度与电子温度之比的模拟值和理论值随时间的变化

    Figure  2.  (e-e collision) The time evolution of the ratio of electron temperature in x, y direction to electron temperature: the simulation and theoretical values with different Coulomb collision cross sections

    图  3  (电子-电子碰撞)截面法模拟过程中,(a)电子x, y方向的温度与电子温度之比的模拟值和理论值,(b)温度之比的模拟值与理论值之差,(c)电子温度以及(d)电子速度分布函数随时间的变化

    Figure  3.  (e-e collision) With cross-section method, the time evolution of (a) the simulated and the theoretical values of the ratio of electron temperature in x, y direction to electron temperature, (b) the difference between the simulated and the theoretical values of the temperature ratio, (c) the temperature of electron, and (d) the velocity distribution function of electron

    图  4  (电子-电子碰撞)不同温度密度条件下,截面法模拟过程中电子x,y方向的温度与电子温度之比的模拟值和理论值之差的统计结果

    Figure  4.  (e-e collision) With cross-section method, the maximum results of the difference between the simulated and theoretical values of the ratio of the electron temperature in the x, y direction to the electron temperature with different temperature and density of electron

    图  5  (电子-电子碰撞)不同温度密度条件下截面法相比TA模型的计算效率提升

    Figure  5.  (e-e collision) The improvement of calculation efficiency of the cross-section method, compared with the TA model with different temperature and density of electron

    图  6  (电子-电子碰撞)截面法和TA模型在不同时间步长下,电子x方向的温度与电子温度之比的模拟结果和理论值随时间的变化

    Figure  6.  (e-e collision) Under different time steps, the time evolution of the ratio of electron temperature in x direction to electron temperature: the simulation and theoretical values with cross-section method and TA model

    图  7  (电子-电子碰撞)不同时间步长,相同温度密度条件下截面法和Nanbu模型相比TA模型的计算效率提升

    Figure  7.  (e-e collision) The improvement of calculation efficiency of the cross-section method and Nanbu model, compared with the TA model under different time step with the same temperature and density of electron

    图  8  (电子-电子碰撞)截面法,TA模型Nanbu模型在不同时间步长下,电子x方向的温度与电子温度之比的模拟值和理论值之差随时间的变化

    Figure  8.  (e-e collision) Under different time steps, the time evolution of the maximum results of the difference between the simulated and theoretical values of the ratio of the electron temperature in the x direction to the electron temperature with cross-section method, TA model and Nanbu model

    图  9  (电子-电子碰撞)截面法,TA模型Nanbu模型在相同时间步长下,模拟过程中不同时刻电子速度分布函数的模拟值和理论值的比较

    Figure  9.  (e-e collision) Under the same time step, the simulation and the theoretical values of the velocity distribution function at different time in the simulation process are compared by cross-section method, TA model and Nanbu model

    图  10  (电子-离子碰撞)截面法模拟过程中,(a)电子和离子温度与平衡温度之比的模拟值和理论值,(b)温度之比的模拟值与理论值之差(c)电子离子温度之和以及(d)电子速度分布函数随时间的变化

    Figure  10.  (e-i collision) With cross-section method, the time evolution of (a) the simulated and the theoretical values of the ratio of electron temperature and ion temperature to equilibration temperature, (b) the difference between the simulated and the theoretical values of the temperature ratio, (c) the sum of temperature of electron and ion (d) the velocity distribution function of electron

  • [1] Hagelaar G J M, Donko Z, Dyatko N. Modification of the Coulomb logarithm due to electron-neutral collisions[J]. Physical Review Letters, 2019, 123: 025004. doi:  10.1103/PhysRevLett.123.025004
    [2] Birdsall C K. Particle-in-cell charged-particle simulations, plus Monte Carlo collisions with neutral atoms[J]. IEEE Transactions on Plasma Science, 1991, 19(2): 65-85. doi:  10.1109/27.106800
    [3] Takizuka T, Abe H. A binary collision model for plasma simulation with a particle code[J]. Journal of Computational Physics, 1977, 25(3): 205-219. doi:  10.1016/0021-9991(77)90099-7
    [4] Veske M, Kyritsakis A, Djurabekova F. Dynamic coupling between particle-in-cell and atomistic simulations[J]. Physical Review E, 2020, 101: 053307. doi:  10.1103/PhysRevE.101.053307
    [5] 杨超, 刘大刚, 王小敏, 等. 基于负氢离子源的全三维PIC/MCC 模拟算法研究[J]. 物理学报, 2012, 61:045204. (Yang Chao, Liu Dagang, Wang Xiaomin, et al. A three-dimensional particle-in-cell/Monte Carlo computer simulation based on negative hydrogen ion source[J]. Acta Physica Sinica, 2012, 61: 045204 doi:  10.7498/aps.61.045204
    [6] Nanbu K. Theory of cumulative small-angle collisions in plasmas[J]. Physical Review E—Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics, 1997, 55(4): 4642-4652.
    [7] 王辉辉, 杨超, 刘大刚, 等. Ta及Nanbu库仑碰撞模型数值对比研究[J]. 物理学报, 2013, 62:015206. (Wang Huihui, Yang Chao, Liu Dagang, et al. Numerical comparison between Ta and Nanbu models of Coulomb collisions[J]. Acta Physica Sinica, 2013, 62: 015206 doi:  10.7498/aps.62.015206
    [8] Dominguez-Vázquez A, Taccogna F, Ahedo E. Particle modeling of radial electron dynamics in a controlled discharge of a Hall thruster[J]. Plasma Sources Science and Technology, 2018, 27: 064006. doi:  10.1088/1361-6595/aac968
    [9] Wang C, Lin T, Caflisch R, et al. Particle simulation of Coulomb collisions: Comparing the methods of Takizuka & Abe and Nanbu[J]. Journal of Computational Physics, 2008, 227(9): 4308-4329. doi:  10.1016/j.jcp.2007.12.027
    [10] Caflisch R, Wang R, Dimarco G, Dimarco, et al. A hybrid method for accelerated simulation of Coulomb collisions in a plasma[J]. Multiscale Model Simul, 2008, 7(2): 865-887. doi:  10.1137/070704939
    [11] Ricketson L F, Rosin M S, Caflisch R E, et al. An entropy based thermalization scheme for hybrid simulations of Coulomb collisions[J]. Journal of Computational Physics, 2014, 273: 77-99. doi:  10.1016/j.jcp.2014.04.059
    [12] Lemons D S, Winske D, Daughton W, et al. Small-angle Coulomb collision model for particle-in-cell simulations[J]. Journal of Computational Physics, 2009, 228(5): 1391-1403. doi:  10.1016/j.jcp.2008.10.025
    [13] Vahedi V, Surendra M. A Monte Carlo collision model for the particle-in-cell method: applications to argon and oxygen discharges[J]. Computer Physics Communications, 1995, 87(1/2): 179-198.
    [14] Sjobak K, Helga T. 2D ArcPIC code description: description of methods and user/developer manual (Second Edition)[R]. CLIC-Note-1032, 2014.
    [15] 姜巍. 射频容性耦合等离子体的两维隐格式PIC/MC模拟[D]. 大连理工大学, 2010: 33-34.

    Jiang Wei. Two-dimensional implicit PIC/MC simulations for radio-frequency capacitively coupled plasma[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 2010: 33-34
    [16] 徐家鸾, 金尚宪. 等离子体物理学[M]. 北京: 原子能出版社, 1981: 34-37.

    Xu Jialuan, Jin Shangxian. Plasma physics[M]. Beijing: Atomic Energy Press, 1981: 34-37
    [17] Diver D A. Plasma formulary for physics, astronomy, and technology[M]. Germany: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2013: 91-92
  • [1] 袁玉章, 张军, 白珍, 钟辉煌.  等离子体对相对论返波管工作影响的粒子模拟 . 强激光与粒子束, doi: 10.11884/HPLPB201830.170444
    [2] 李姝敏, 李永东, 刘震.  相对论返波管中击穿现象粒子模拟 . 强激光与粒子束, doi: 10.11884/HPLPB201729.170038
    [3] 马平, 石安华, 杨益兼, 于哲峰, 部绍清, 黄洁.  再入体缩比模型湍流等离子体电磁散射特性测量 . 强激光与粒子束, doi: 10.11884/HPLPB201527.073201
    [4] 王衍斌, 李朝阳, 许华, 李波.  6LiD脉冲复合离子源与聚变DT等离子体的相互作用 . 强激光与粒子束, doi: 10.11884/HPLPB201426.112006
    [5] 孙文娟, 谢添武, 韩道, 刘谦.  中国数字人体男性数学模型建立及外辐射模拟 . 强激光与粒子束, doi: 10.3788/HPLPB20132501.0182
    [6] 李刚, 张宝印, 邓力, 胡泽华, 马彦.  蒙特卡罗粒子输运程序JMCT研制 . 强激光与粒子束, doi: 10.3788/HPLPB20132501.0158
    [7] 唐恩凌, 张庆明, 王猛, 相升海, 夏瑾, 杨明海, 李乐新, 张薇.  超高速碰撞产生等离子体云的粒子能量时空分布 . 强激光与粒子束, doi: 10.3788/HPLPB20132511.3025
    [8] 耿长冉, 汤晓斌, 谢芹, 陈达.  空间辐射环境及人体剂量蒙特卡罗模拟 . 强激光与粒子束, doi: 10.3788/HPLPB20122412.3028
    [9] 上官丹骅, 李刚, 张宝印, 邓力.  蒙特卡罗粒子输运软件JMCT抽样工具库设计 . 强激光与粒子束, doi: 10.3788/HPLPB20122412.2955
    [10] 苏健, 曾志, 刘悦, 岳骞, 马豪, 程建平.  中国锦屏地下实验室缪子辐射环境蒙特卡罗方法模拟 . 强激光与粒子束, doi: 10.3788/HPLPB20122412.3015
    [11] 谢芹, 耿长冉, 陈飞达, 汤晓斌, 姚泽恩.  基于蒙特卡罗方法的α粒子细胞S值计算 . 强激光与粒子束, doi: 10.3788/HPLPB20122412.2970
    [12] 徐启福, 刘列.  强流电子束源阴极等离子体的粒子模拟 . 强激光与粒子束,
    [13] 张华彬, 赵翔, 周海京, 黄卡玛.  混响室的概率统计分析方法及其蒙特卡罗模拟 . 强激光与粒子束,
    [14] 周东方, 马燕云, 田成林, 邵福球, 陈湛, 银燕, 卓红斌, 欧阳建明.  质子束在等离子体中传输的粒子模拟 . 强激光与粒子束,
    [15] 杨超, 刘大刚, 周俊, 夏蒙重, 杨宇鹏, 徐旭光.  粒子模拟中阳极栅网模型的实现 . 强激光与粒子束,
    [16] 李永东, 王洪广, 刘纯亮, 周岩, 刘美琴.  一种补偿时间步长限制的粒子模拟-蒙特卡罗碰撞模型 . 强激光与粒子束,
    [17] 李悦宝, 刘盛纲.  薄环形等离子体介质切伦柯夫脉塞 . 强激光与粒子束,
    [18] 陈林, 姜巍, 王文斗.  长导通等离子体开关断路过程的粒子模拟 . 强激光与粒子束,
    [19] 肖仁珍, 刘国治, 林郁正.  充空气的同轴慢波结构高功率微波器件粒子模拟 . 强激光与粒子束,
    [20] 王冬, 陈代兵, 范植开, 邓景康.  L波段MILO低真空下工作特性的粒子模拟与实验研究 . 强激光与粒子束,
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-06-29
  • 修回日期:  2020-11-12
  • 网络出版日期:  2020-11-24

库仑碰撞截面在等离子体粒子模拟中的应用

doi: 10.11884/HPLPB202133.20179
    作者简介:

    宋萌萌(1990—),男,硕士研究生,从事等离子体数值模拟研究;simon9317@163.com

    通讯作者: 周前红(1983—),男,博士,副研究员,从事等离子体理论与数值模拟研究;zhou_qianhong@qq.com
  • 中图分类号: O411.3

摘要: 在等离子体粒子模拟中,TA模型和NanBu模型被广泛用于处理库仑碰撞,这两种模型要求每个时间步长内全部粒子参与计算。为了降低参与碰撞的粒子数,提高库仑碰撞的计算效率,提出了一种基于截面的库仑碰撞模拟方法,并给出了库仑碰撞概率的计算公式。采用该方法对不同温度不同密度电子气的弛豫过程进行模拟,分别对比了电子速度分布函数、电子温度以及电子xy方向上的温度与电子温度之比的模拟值与理论值,验证了该方法的准确性。在相同的小时间步长上,该方法相比TA模型计算效率提升可达40%以上。对于较大的时间步长,该方法仍能得到与理论解近似的模拟结果,相比Nanbu模型,在相同的精度下可取更大的时间步长,计算效率也有所提升。研究表明,该方法同样适用于电子-离子碰撞。因此在提高库仑碰撞计算效率上,该方法具有碰撞粒子数少以及适用于大时间步长的优势。

English Abstract

宋萌萌, 周前红, 孙强, 等. 库仑碰撞截面在等离子体粒子模拟中的应用[J]. 强激光与粒子束. doi: 10.11884/HPLPB202133.20179
引用本文: 宋萌萌, 周前红, 孙强, 等. 库仑碰撞截面在等离子体粒子模拟中的应用[J]. 强激光与粒子束. doi: 10.11884/HPLPB202133.20179
Song Mengmeng, Zhou Qianhong, Sun Qiang, et al. Application of coulomb collision cross-section in particle-in-cell simulation of plasma[J]. High Power Laser and Particle Beams. doi: 10.11884/HPLPB202133.20179
Citation: Song Mengmeng, Zhou Qianhong, Sun Qiang, et al. Application of coulomb collision cross-section in particle-in-cell simulation of plasma[J]. High Power Laser and Particle Beams. doi: 10.11884/HPLPB202133.20179
  • 库仑碰撞作为带电粒子输运过程的重要组成部分,广泛存在于气体放电、聚变等离子体、空间等离子体及半导体系统中[1]。相比于中性粒子的短程、二体碰撞,带电粒子的库仑碰撞因其长程、多体碰撞的特性,一直是粒子模拟/蒙特卡罗方法(PIC/MCC)[2]的主要技术难点。目前,对等离子体粒子模拟中库仑碰撞的处理通常采用Takizuka和Abe的二体小角碰撞模型(TA模型)[3-5]或K. Nanbu的小角度累计碰撞模型(Nanbu模型)[6-8]。相比于TA模型的小时间步长,Nanbu模型在大时间步长内可保持较高的精度,在提高计算效率方面更有优势[9]。Russel[10]的混合法、Ricketson[11]的热化法和Lemons[12]的粒子矩法在一定程度上也能够提高库仑碰撞的计算效率。然而这些方法要求每个时间步长内所有粒子参与碰撞,就碰撞部分而言,计算量约为$O(N)$$N$为总粒子数)。如果能够减少参与碰撞的粒子数,理论上还能降低库仑碰撞的计算量,进一步提高计算效率。

    考虑到中性粒子的蒙特卡罗碰撞模型[13],两粒子是否发生碰撞取决于碰撞截面的大小。相比于所有粒子参与的碰撞,该模型在每个时间步长内只有部分粒子参与,因而计算量更小,计算效率更高。根据这一思想,本文提出了一种基于截面的库仑碰撞模拟方法(截面法)。该方法根据库仑碰撞截面得出两带电粒子发生碰撞的概率,通过减少每个时间步长内参与碰撞的粒子数,达到提高计算效率的目的。

    • 中性粒子的蒙特卡罗碰撞模型,在$\Delta t$时间内,两粒子$\alpha $$\beta $发生碰撞的概率$P$可表示为[14]

      $$P = 1 - \exp( - \sigma {n_\beta }u\Delta t)$$ (1)

      式中:$\sigma $为碰撞截面;${n_\beta }$$\;\beta $粒子的密度;$u = |{ {{v}}_\alpha } - {{{v}}_\beta }|$为两粒子的相对速度, ${ {{v}}_\alpha }$${ {{v}}_\beta }$分别为碰撞前两粒子的速度;$\Delta t$为模拟时间步长。给定随机数${R_1} \in [0,1]$,当${R_1} < P$时,两粒子发生碰撞。该模型在每个时间步长内,大约只有$P \times N$个粒子参与碰撞。

      在不考虑动能损失的情况下,可以使用二体弹性碰撞模型来计算两粒子碰后的速度,碰后的速度为[3]

      $$\begin{array}{l} {{ {{v}}}_\alpha }^\prime = {{ {{v}}}_\alpha } + \dfrac{{{m_\beta }}}{{{m_\alpha } + {m_\beta }}}\Delta {{u}} \\ {{v}}_\beta ^\prime = {{ {{v}}}_\beta } - \dfrac{{{m_\alpha }}}{{{m_\alpha } + {m_\beta }}}\Delta {{u}} \\ \end{array} $$ (2)

      式中:$ {{v}}_\alpha ^\prime $$ {{v}}_\beta ^\prime $分别为碰撞后两粒子的速度;${m_\alpha }$${m_\beta }$分别为两粒子的质量;$\Delta {{u}}$为相对速度的变化,满足以下关系

      $$\begin{array}{l} \Delta {u_x} = \left( {u_x^t/u_ \bot ^t} \right)u_{\textit{z}}^t\sin {\mathit{\Theta}} \cos {\mathit{\Phi}} - \left( {u_y^t/u_ \bot ^t} \right)u\sin {\mathit{\Theta}} \sin {\mathit{\Phi}} - u_x^t(1 - \cos {\mathit{\Theta}} ) \\ \Delta {u_y} = \left( {u_y^t/u_ \bot ^t} \right)u_{\textit{z}}^t\sin {\mathit{\Theta}} \cos {\mathit{\Phi}} + \left( {u_x^t/u_ \bot ^t} \right)u\sin {\mathit{\Theta}} \sin {\mathit{\Phi}} - u_y^t(1 - \cos {\mathit{\Theta}} ) \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta {u_{\textit{z}}} = - u_ \bot ^t\sin {\mathit{\Theta}} \cos {\mathit{\Phi}} - u_{\textit{z}}^t(1 - \cos {\mathit{\Theta}} ) \\ \end{array} $$ (3)

      式中:$ {u}_{x}^{t}$${u}_{y}^{t}$${u}_{z}^{t}$分别为$t$时刻相对速度$u$xyz方向的分量;$u_ \bot ^t = \sqrt {u{{_x^t}^2} + u{{_y^t}^2}} $$ {\mathit{\Theta}} $${\mathit{\Phi}}$分别为散射角和方位角。散射角可根据微分截面抽样选取[15],方位角在$[0,2{\text{π}}]$随机选取,满足${\mathit{\Phi}} = 2{\text{π}}{R_2}$${R_2}$$\left[ {0,1} \right]$的随机数。

      在等离子体中,库仑碰撞以二体小角散射为主,大角度偏转主要是多次小角散射累计得到。库仑碰撞截面可由远碰撞积累出90°偏转角的“有效碰撞截面”${\sigma _m} = 4{\text{π}}{b_0}^2\ln{\mathit{ \Lambda}} $近似[16],其中:${b_0} = {q_\alpha }{q_\beta }/4{\text{π}}{\varepsilon _0}{m_{\alpha \beta }}{u^2}$,代表偏转角为90°时的碰撞参数;$ {q}_{\alpha }$${q}_{\beta }$为两粒子的电荷;${\varepsilon _{\rm{0}}}$为真空介电常数;${m_{\alpha \beta }} = {m_\alpha }{m_\beta }/({m_\alpha } + {m_\beta })$为折合质量;$\ln {\mathit{\Lambda}} $为库仑对数。根据库仑碰撞截面和中性粒子的蒙特卡罗碰撞模型,本文提出了基于截面的库仑碰撞模拟方法,将带电粒子间的库仑碰撞近似为中性粒子的二体弹性碰撞,两粒子是否发生碰撞取决于库仑碰撞截面的大小。将库仑碰撞截面代入公式(1)可得出库仑碰撞概率${P_{\rm{C}}}$。每个时间步长内,当随机数${R_1} < {P_{\rm{c}}}$时,两粒子发生碰撞,碰后的速度由公式(2)~(3)求出,散射角满足$\cos{\mathit{ \Theta }}= 1 - 2{R_3}$${R_3}$$\left[ {0,1} \right]$的随机数。

    • 通过基于截面法的PIC/MCC代码,在空间0维、速度3维系统下,对由电子-电子碰撞引起的电子气弛豫过程[6]进行模拟并统计模拟时间。

      在PIC/MCC代码中设置电子密度${n_{\rm{e}}} = {10^{18}}\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{ - 3}}$,电子温度${T_{\rm{e}}} = 4\;{\rm{eV}}$。初始时刻电子速度满足麦克斯韦速度分布,电子温度各向异性,满足${T_x} = 1.3{T_y} = 1.18{T_e}$${T_{\textit{z}}} = {T_y}$其中$ {T}_{x}$${T}_{y}$${T}_{{\textit{z}}}$分别为电子在xyz方向的温度。模拟电子个数为$2 \times {10^5}$,时间步长$\Delta t = 0.01{\tau _0}$,模拟总时间为${\rm{12}}{\tau _0}$${\tau _0}$为参考时间,满足以下关系

      $${\tau _0} = \frac{{8{\text{π}}\sqrt 2 \varepsilon _0^2m_{\rm{e}}^{1/2}{{\left( {k{T_{\rm{e}}}} \right)}^{3/2}}}}{{{n_{\rm{e}}}q_{\rm{e}}^4\ln {\mathit{\Lambda}} }}$$ (4)

      式中:${q_{\rm{e}}}$为电子电荷,${m_{\rm{e}}}$为电子质量,$k$为玻耳兹曼常数;库仑对数$\ln {\mathit{\Lambda }} = \ln {n_{\rm{e}}}{\lambda _{\rm{D}}}^3$[16]${\lambda\rm{_D}} = \sqrt {\dfrac{{{\varepsilon _0}k{T_{\rm{e}}}}}{{{n_{\rm{e}}}{e^2}}}}$为德拜长度。

    • 采用文献[3]中给出的配对方法,电子气弛豫的模拟步骤如下:(1)首先将所有电子随机重新排序;(2)选择要发生碰撞的电子$(i,i + 1)$;(3)计算相对速度$u$并得出碰撞概率${P_{\rm{C}}}$;(4)判断随机数${R_1}$${P_{\rm{C}}}$的大小,当${R_1} < {P_{\rm{C}}}$时两电子发生碰撞,根据公式(2)、(3)得出电子的碰撞后速度;(5)重复步骤(1)~(4)直到循环完所有的电子。

      模拟流程如图1所示。

      图  1  电子气弛豫的模拟流程

      Figure 1.  Simulation process of electron gas’ relaxation

    • 通过电子气弛豫过程中电子xy方向上的温度与电子温度之比、电子速度分布函数以及电子温度的模拟值和理论值的对比,来验证截面法的准确性。电子气弛豫过程中xy方向温度差的解析解[6]

      $$\Delta T = {(\Delta T)_0}\exp \left( { - \frac{8}{{5\sqrt {2{\text{π}}} }}\hat t} \right)$$ (5)

      式中:$\Delta T = {T_x} - {T_y}$$\Delta {T_0}$为初始时刻xy方向的温度差;$\hat t = t{\nu _0}$${\nu _0}$为碰撞频率,满足${\nu _0} = 1/{\tau _0}$。由${T_x} + {T_y} + {T_{\textit{z}}} = 3{T_{\rm{e}}}$和公式(5),可得出${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$的理论值满足

      $$\begin{array}{l} {T_x}/{T_{\rm{e}}} = 1 + {{{\rm{2}}\Delta T} / {\left( {{\rm{3}}{T_{\rm{e}}}} \right)}} \\ {T_y}/{T_{\rm{e}}} = 1 - {{\Delta T} / {\left( {{\rm{3}}{T_{\rm{e}}}} \right)}} \end{array} $$ (6)

      式中${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$分别代表电子$ x{\text{、}}y$方向上的温度与电子温度之比。

      模拟过程中${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$的模拟值与理论值之差用$\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}_{x,y}}}$表示,满足以下关系

      $$\delta_{ {\rm{er}}{{\rm{r}}_{x,y}}} = \left| {{T_k}/{T_{\rm{e}}}_{_{{\rm{sim}}}} - {T_k}/{T_{\rm{e}}}_{_{{\rm{theory}}}}} \right|(k = x,y)$$ (7)

      式中:脚标${\rm{sim}}$${\rm{theory}}$分别代表模拟值和理论值。

    • 对于库仑碰撞截面,一般采用近似求解的办法[16-17]。文献[16]中指出,${\sigma _{\rm{m}}}$常用于估计库仑碰撞截面的大小。根据文献[16]中的推导${\sigma _{\rm{m}}} = {{{\rm{8}}{\text{π}}b_0^2\ln {\mathit{\Lambda}} } / {\left\langle {{\theta ^2}} \right\rangle }}$$\left\langle {{\theta ^2}} \right\rangle $为多次远碰撞积累的均方偏转。取$\left\langle {{\theta ^2}} \right\rangle \approx 2$,得出文献[16]中库仑碰撞截面的近似值为$4{\text{π}}{b_0}^2\ln {\mathit{\Lambda}} $。根据该截面求得碰撞概率${P_{\rm{C}}}$,采用1.2节的模拟参数,模拟结果如图2(a)所示。图中:${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$的模拟值与理论值相比误差较大,出现弛豫过慢的现象。这是因为在该碰撞截面下,碰撞概率过小导致发生碰撞的电子数偏少。取$\left\langle {{\theta ^2}} \right\rangle \approx 1$,得出文献[17]中库仑碰撞截面的近似值为$8{\text{π}}{b_0}^2\ln {\mathit{\Lambda}} $,模拟结果如图2(b)所示。可以看出:模拟值与理论值仍有较大误差,但是与图2(a)相比,该模拟更接近于理论值,弛豫过程也有所加快。根据这两个模拟结果的变化,如果进一步扩大库仑碰撞截面,应该可以得出与理论值吻合得较好的模拟结果。

      图  2  (电子-电子碰撞)不同库仑碰撞截面下电子x, y方向的温度与电子温度之比的模拟值和理论值随时间的变化

      Figure 2.  (e-e collision) The time evolution of the ratio of electron temperature in x, y direction to electron temperature: the simulation and theoretical values with different Coulomb collision cross sections

      在本研究中,通过大量的模拟测试,发现取$\left\langle {{\theta ^2}} \right\rangle \approx 0.5$,库仑碰撞截面为$16{\text{π}}{b_0}^2\ln {\mathit{\Lambda}} $时,${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$的模拟值与理论值更吻合,即库仑碰撞概率满足以下关系

      $${P_{\rm{C}}} = 1 - \exp( - 16{\text{π}}{b_0}^2\ln {\mathit{\Lambda}} {n_\beta }u\Delta t)$$ (8)

      后文截面法的模拟均基于这一碰撞概率进行。

    • 使用公式(8)的碰撞概率,根据1.2节的模拟参数对电子气弛豫过程进行模拟,结果如图3所示。图3(a)${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$的模拟值和理论值随时间的变化,结果表明二者吻合良好。在大约历经$8{\tau _0}$${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$趋于1,这与公式(5)~(6)导出的$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {T_k}/{T_{\rm{e}}} = 1(k = x,y)$的结论一致。图3(b)${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$的模拟值与理论值之差随时间的变化,结果表明,在模拟过程中$\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}_{x,y}}} < 0.015$图3(c)是模拟过程中电子温度随时间的变化,其中电子的温度由速度计算得出。图中电子的温度始终保持在$3.997\;{\rm{eV}}$的水平,表明模拟过程中能量是守恒的。由于统计采样误差,模拟所得的电子温度与给定的${\rm{4}}\;{\rm{eV}}$略有不同。图3(d)是电子速度分布的统计结果,图中的红色曲线为麦克斯韦速度分布曲线,而直方图是模拟过程中电子速度的统计结果,二者对比表明,电子速度也满足麦克斯韦分布。通过以上分析,可以得出截面法在模拟电子气弛豫过程中,各物理量的模拟值与理论值吻合,说明使用该方法模拟等离子体中的库仑碰撞是准确的。

      图  3  (电子-电子碰撞)截面法模拟过程中,(a)电子x, y方向的温度与电子温度之比的模拟值和理论值,(b)温度之比的模拟值与理论值之差,(c)电子温度以及(d)电子速度分布函数随时间的变化

      Figure 3.  (e-e collision) With cross-section method, the time evolution of (a) the simulated and the theoretical values of the ratio of electron temperature in x, y direction to electron temperature, (b) the difference between the simulated and the theoretical values of the temperature ratio, (c) the temperature of electron, and (d) the velocity distribution function of electron

    • 改变1.2节模拟参数中的电子的温度和密度,统计不同温度和不同密度状态下${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$的模拟值与理论值之差的最大值$\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}}_{\max }}$,其中$\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}}_{\max }} = \max (\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}}_{x,y}})$。第一种情况将电子温度固定为$4\;{\rm{eV}}$,比较电子密度取不同值时的模拟结果,得到$\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}}_{\max }}$曲线如图4(a)所示,横坐标为密度的对数。第二种情况将电子密度固定为${10^{18}}\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{ - 3}}$,比较电子温度取不同值时的模拟结果,得到$\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}}_{\max }}$曲线如图4(b)所示,横坐标为电子温度。根据图4的模拟结果,两种情况下$\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}}_{\max }} < {\rm{0}}{\rm{.02}}$,表明对较大密度、温度范围的等离子体,截面法在模拟库仑碰撞时是准确的,而且具有较高的精度。

      图  4  (电子-电子碰撞)不同温度密度条件下,截面法模拟过程中电子x,y方向的温度与电子温度之比的模拟值和理论值之差的统计结果

      Figure 4.  (e-e collision) With cross-section method, the maximum results of the difference between the simulated and theoretical values of the ratio of the electron temperature in the x, y direction to the electron temperature with different temperature and density of electron

    • 使用截面法和TA模型分别对2.1.3节中不同温度和不同密度状态下的电子气弛豫过程进行10次模拟,取10次模拟时间的平均值作为每种状态下的模拟时间。用$\eta = ({t_1} - {t_0})/{t_0}$表示截面法相比于TA模型的计算效率提升,其中${t_1}$${t_0}$分别代表截面法和TA模型的在模拟结束时所耗用的总时间。对耗时做统计分析,得出计算效率提升如图5所示。图5(a)是电子温度为$4\;{\rm{eV}}$,密度取不同值时的计算效率提升。图5(b)是电子密度为${10^{18}}\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{ - 3}}$,温度取不同值时的计算效率提升。图5表明,在$0.01{\tau _0}$的时间步下,截面法相比TA模型的计算效率提升都在$45{\text{%}}$以上,说明截面法在提高计算效率上是有效的。

      图  5  (电子-电子碰撞)不同温度密度条件下截面法相比TA模型的计算效率提升

      Figure 5.  (e-e collision) The improvement of calculation efficiency of the cross-section method, compared with the TA model with different temperature and density of electron

    • 在库仑碰撞模拟中,使用较大的时间步长也可以降低模拟时间,提高计算效率。修改1.2节模拟参数中的时间步长依次为$ 0.025{\tau }_{0}{\text{、}}0.05{\tau }_{0}{\text{、}}0.1{\tau }_{0}{\text{、}}0.2{\tau }_{0}{\text{、}}0.4{\tau }_{0}{\text{、}}0.8{\tau }_{0}$,使用截面法和TA模型分别在不同时间步长下对电子气弛豫过程进行模拟。根据图3(a) ${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$模拟结果在形式上的一致性,简单起见,这里我们仅给出了${T_x}/{T_{\rm{e}}}$的模拟结果,如图6所示。图6(a)是截面法在不同时间步长下的模拟结果,图中$\Delta t \leqslant 0.2{\tau _0}$时,模拟结果与理论值的误差最小。随着模拟时间步长的增加,$\Delta t > 0.4{\tau _0}$时,模拟结果与理论值的误差逐渐增大。图6(b)是TA模型在不同时间步长下的模拟结果,$\Delta t \leqslant 0.05{\tau _0}$时,模拟值与理论值的误差最小。随着模拟时间步长的增加,$\Delta t > 0.1{\tau _0}$时,模拟结果与理论值的误差也明显增大。对比两幅图中不同时间步长下的模拟结果,截面法在时间步长较大时,仍然与理论解吻合较好。

      图  6  (电子-电子碰撞)截面法和TA模型在不同时间步长下,电子x方向的温度与电子温度之比的模拟结果和理论值随时间的变化

      Figure 6.  (e-e collision) Under different time steps, the time evolution of the ratio of electron temperature in x direction to electron temperature: the simulation and theoretical values with cross-section method and TA model

      根据公式(8),截面法的碰撞概率与时间步长正相关,因此模拟时间会随时间步长的增加而增加。我们统计了不同模拟时间步长下,截面法和Nanbu模型相比于TA模型的计算效率提升。结果表明,随着模拟时间步长的增加,截面法和Nanbu模型计算效率提升呈逐渐减小的趋势,如图7所示。图7中的实线代表截面法相比TA模型的计算效率提升,当时间步长由$0.05{\tau _0}$增至${\rm{0}}{\rm{.8}}{\tau _0}$时,该值从45%减小到了15%左右。经统计,平均碰撞概率$\overline {{P_{\rm{C}}}} $也由0.313增加到了0.866。如果模拟时间继续增大,碰撞概率将会趋于1,此时几乎全部粒子参与碰撞,截面法和TA模型的模拟时间相当。图7中的虚线代表Nanbu模型相比TA模型的计算效率提升,该值在小时间步长上大约为15%,大时间步长则为7%左右。因此在相同的时间步长下,相比于Nanbu模型,截面法计算效率也有了显著的提升。

      图  7  (电子-电子碰撞)不同时间步长,相同温度密度条件下截面法和Nanbu模型相比TA模型的计算效率提升

      Figure 7.  (e-e collision) The improvement of calculation efficiency of the cross-section method and Nanbu model, compared with the TA model under different time step with the same temperature and density of electron

    • 使用Nanbu模型在大时间步长下($0.4{\tau _0}$$0.{\rm{8}}{\tau _0}$)对电子气弛豫过程进行模拟,并跟截面法和TA模型对比。图8给出了两种时间步长下,三种方法得出的${T_x}/{T_e}$的模拟值与理论值之差随时间的变化。图8(a)(b)分别是时间步长为$0.4{\tau _0}$$0.{\rm{8}}{\tau _0}$时三种方法的模拟结果。结果表明,在相同的时间步长下,TA模型的误差最大,Nanbu模型次之,截面法的误差最小。从而在大时间步长的模拟上,截面法比Nanbu模型有更高的精度。当时间步长增大时,三种方法的误差均变大。对比$\Delta t = 0.{\rm{4}}{\tau _0}$时Nanbu模型的误差和$\Delta t = 0.{\rm{8}}{\tau _0}$时截面法的误差,可知,在近似相等的误差精度上,截面法可以采用比Nanbu模型更大的时间步长。

      图  8  (电子-电子碰撞)截面法,TA模型Nanbu模型在不同时间步长下,电子x方向的温度与电子温度之比的模拟值和理论值之差随时间的变化

      Figure 8.  (e-e collision) Under different time steps, the time evolution of the maximum results of the difference between the simulated and theoretical values of the ratio of the electron temperature in the x direction to the electron temperature with cross-section method, TA model and Nanbu model

      在时间步长$\Delta t = 0.{\rm{4}}{\tau _0}$下,统计截面法、TA模型和Nanbu模型在模拟过程中的电子速度,得出如图9所示的速度分布函数曲线。图9(a)(d)分别代表在$ t=\rm{0}{\text{、}}\rm{2}{\tau }_{0}{\text{、}}\rm{4}{\tau }_{0}{\text{、}}\rm{8}{\tau }_{0}$时刻的速度分布函数曲线。在$t = 0$时刻,电子速度满足麦克斯韦速度分布。随着模拟时间的推进,在$ t=\rm{2}{\tau }_{0}{\text{、}}\rm{4}{\tau }_{0}$时刻,速度分布函数曲线与理论值相比也近似相等。在$t = 8{\tau _0}$时刻,电子气达到弛豫状态,此时电子速度分布函数曲线与理论值保持一致。因此三种方法模拟过程中电子速度分布均满足麦克斯韦速度分布这一理论值。

      图  9  (电子-电子碰撞)截面法,TA模型Nanbu模型在相同时间步长下,模拟过程中不同时刻电子速度分布函数的模拟值和理论值的比较

      Figure 9.  (e-e collision) Under the same time step, the simulation and the theoretical values of the velocity distribution function at different time in the simulation process are compared by cross-section method, TA model and Nanbu model

      通过以上分析,截面法在模拟中可以取较大的时间步长,具有较高的精度,计算效率相比TA模型和Nanbu模型均有提升。

    • 在等离子体中,除了电子-电子(e-e)同种组份的碰撞,电子-离子(e-i)不同组份间的碰撞也占有重要的地位。根据文献[3]中的电子-离子碰撞模型和配对方法,我们使用截面法模拟初始电子和离子温度分别为${T_{{\rm{e0}}}}$${T_{i{\rm{0}}}}$的电子-离子碰撞进行模拟。碰撞过程中温度满足以下关系[3]

      $${\rm{d}}({T_i} - {T_{\rm{e}}})/{\rm{d}}t = - 2{\nu _{{\rm{eq}}}}({T_{\rm{i}}} - {T_{\rm{e}}})$$ (9)

      式中:Te${T_i}$为电子离子温度;${\nu _{{\rm{eq}}}}$为电子离子的碰撞频率,满足以下关系

      $${\nu _{{\rm{eq}}}} = \frac{8}{{3\sqrt {\text{π}} }}\frac{{{m_{\rm{e}}}}}{{{m_{\rm{i}}}}}{\left( {1 + \frac{{{m_{\rm{e}}}}}{{{m_{\rm{i}}}}}\frac{{{T_{\rm{i}}}}}{{{T_{\rm{e}}}}}} \right)^{ - 3/2}}{\nu _0}$$ (10)

      式中:${m_e}$${m_i}$分别为电子和离子质量。碰撞过程中电子和离子的温度始终满足${T_{\rm{i}}} + {T_{\rm{e}}} = 2{T^*}$,其中${T^*}$为平衡温度。

      模拟过程中${T_{\rm{e}}}/{T^*}$${T_{\rm{i}}}/{T^*}$的模拟值与理论值之差用$\delta_ {{\rm{er}}{{\rm{r}}}_{{\rm{e}},{\rm{i}}}}$表示,满足以下关系

      $$\delta_{{\rm{er}}{{\rm{r}}_{{\rm{e}},{\rm{i}}}}} = \left| {{T_k}/{T^*} - {T_k}/{T^*}_{{\rm{theory}}}} \right|(k = {\rm{e}},{\rm{i}})$$ (11)

      在1.2节模型参数的基础上,设置离子和电子的质量比为${m_{\rm{i}}}/{m_{\rm{e}}} = 100$,电荷比为${q_{\rm{i}}}/{q_{\rm{e}}} = - 1$,密度比${n_{\rm{i}}}/{n_{\rm{e}}} = 1$,其中$ {q}_{{\rm{i}}}{\text{、}}{n}_{{\rm{i}}}$分别为离子的电荷和密度。模拟总时间为$300{\tau _0}$。为了方便与解析解对比,并使碰撞过程中电子和离子近似满足麦克斯韦分布,设置${T_{{\rm{i}}{\rm{0}}}}{\rm{ = 3}}{\rm{.8\;eV}}$${T_{{\rm{{\rm{e}}0}}}}{\rm{ = 4}}{\rm{.2\;eV}}$。随着碰撞进行,电子和离子温度最后达到平衡状态,满足${T_{\rm{i}}} = {T_{\rm{e}}} = {T^*}$。使用截面法对上述模型进行模拟,得出如图10所示的结果。图10(a)${T_{\rm{e}}}/{T^*}$${T_{\rm{i}}}/{T^*}$的模拟值与理论值随时间的变化,图10(b)$\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}_{{\rm{e}},{\rm{i}}}}}$随时间的变化。根据图10(a)(b)${T_{\rm{e}}}/{T^*}$${T_{\rm{i}}}/{T^*}$的模拟结果与理论值吻合较好,$\delta _{{\rm{er}}{{\rm{r}}_{{\rm{e}},{\rm{i}}}}} < 0.01$图10(c)中电子和离子的温度之和始终保持在$7.989\;415\;{\rm{eV}}$的水平,说明模拟过程中能量是守恒的。图10(d)是模拟过程中电子速度分布随时间的变化,表明电子速度满足麦克斯韦分布,与实际情况相符。因此,虽然截面法的最优碰撞截面参数是通过电子-电子碰撞模拟得来,但也适用于电子-离子碰撞的情况。另外,由于电子-离子碰撞与电子-电子碰撞计算过程的相似性,截面法在处理电子-离子碰撞时,计算效率同样优于TA模型和Nanbu模型。

      图  10  (电子-离子碰撞)截面法模拟过程中,(a)电子和离子温度与平衡温度之比的模拟值和理论值,(b)温度之比的模拟值与理论值之差(c)电子离子温度之和以及(d)电子速度分布函数随时间的变化

      Figure 10.  (e-i collision) With cross-section method, the time evolution of (a) the simulated and the theoretical values of the ratio of electron temperature and ion temperature to equilibration temperature, (b) the difference between the simulated and the theoretical values of the temperature ratio, (c) the sum of temperature of electron and ion (d) the velocity distribution function of electron

    • 本文将库仑碰撞截面用于等离子体模拟中,提出了一种基于截面的库仑碰撞模拟方法,给出了库仑碰撞概率的计算公式。该方法通过减少每个时间步长内参与碰撞的粒子数达到降低计算时间,提高计算效率的目的。文中分别使用截面法和TA模型对不同密度不同温度的电子气弛豫过程进行模拟并统计模拟时间,通过对比${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$,以及电子温度和速度分布函数的模拟结果与理论值,验证了截面法的准确性。模拟时间步长为$0.01{\tau _0}$时,${T_x}/{T_{\rm{e}}}$${T_y}/{T_{\rm{e}}}$的模拟值与理论值之差的最大值在0.02以内,计算效率相比TA模型可提高$45{\text{%}} $以上。当时间步长为$0.1{\tau _0}$时,该效率提升保持在$30{\text{%}} $左右。当模拟时间步进一步增大时,截面法仍然可以得到与理论解吻合较好的模拟结果,相比TA模型的小时间步长,该方法可进一步提高计算效率。另外截面法在近似相等的精度上可以采用比Nanbu模型更大的时间步长,因而计算效率相比Nanbu模型也有所提升。最后,我们使用截面法对电子-离子碰撞进行了模拟,进一步验证了截面法的适用性。

      考虑到库仑对数取值时通常会用到等离子体系统中电子的温度${T_e}$,因此截面法理论上适用于麦克斯韦分布或偏离麦克斯韦分布不远的系统。对于任意偏离麦克斯韦分布的系统,由于非麦克斯韦分布解析求解的复杂性,需要做进一步深入的分析探讨,这也是接下来我们的一个研究方向。综上,截面法可以作为一种提高库仑碰撞计算效率的方法应用于等离子体模拟中。

      致 谢 感谢核工业西南物理研究院胡万鹏博士给予的有益讨论

参考文献 (17)

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