架空输电线已广泛用于输电工程。同时，随着城市人口密度的增加，包括电力和通信电缆等在内的埋地电缆，也得到了更加广泛的应用。电力输电线缆在外部电磁脉冲，例如雷电电磁脉冲、高空电磁脉冲等辐照下，其金属导体上会感应出幅值较高的电压和电流，有可能影响甚至损坏绝缘以及与电缆连接的电气或电子器件，对电力系统和通信系统的安全构成威胁。因此，架空及埋地线缆对外界电磁脉冲的耦合响应研究已受到研究者的广泛关注^[1-9]。

通常传输线模型是分析场线耦合问题的有效方法^[10]。事实上，由于电力系统内存在大量的非线性器件，其只能在时域内进行描述和分析，例如金属氧化物避雷器和电缆过电压保护装置等，因此直接在时域内评估线缆的瞬态响应更加准确且高效。然而，当考虑线缆和大地损耗时，传输线方程单位长度参数是与频率相关的，因此在时域内求解电报方程面临的主要困难是时频域混合问题以及时域卷积计算效率低下的问题。文献[11]中作者针对以上问题，提出了一种入射场辐照架空线缆的高效宏模型。该模型采用广义特征线法求解传输线方程，利用模拟行为建模在时域内实现频变传输线参数及卷积计算。已证明该模型计算效率不受线缆长度的限制，因此该方法适用于求解大规模长距离多导体线缆系统。

目前，对于埋地电缆的耦合响应问题，文献中最常用的时域求解方法是FDTD法^{[1, 5]}。该方法对时间和空间进行网格离散，采用数值逆傅里叶变换技术或矢量匹配得到时域单位长度传输线参数。因此，对于敷设长度为几百甚至几千米的埋地电力电缆，FDTD法计算耗时长，占用存储空间大。另外，与架空线缆不同，埋地传输线单位长度大地导纳(电位系数)参数对响应结果影响较大，不能忽略。因此，为了高效求解埋地电缆的耦合响应，可以将文献[11]中介绍的架空线缆宏模型拓展至埋地电缆，使其包括大地导纳的影响。

本文介绍了一种用于计算外场辐照下架空及埋地线缆瞬态响应的高效时域宏模型。此外，本文还在时域和频域内分别分析了HEMP环境及特点，重点研究土壤对入射电场的透射作用，包括土壤电导率、距地面深度等参数对透射电场的影响。在此基础上，利用所提方法研究了架空输电线路以及埋地电力电缆金属护套的瞬态响应，为架空及埋地电力系统的抗电磁干扰研究打下基础。

1.   模型推导

本节将简单回顾宏模型的推导过程，并将其拓展至埋地电缆的情况。图 1为外场辐照多导体架空及埋地线缆的示意图。图 1中，z>0为自由空间，电参数为μ₀和ε₀；z < 0为均匀土壤，电参数为μ₀, ε_rg和σ_g；α, ψ和φ分别表示入射电磁波的极化角、俯仰角和方位角；h表示电缆高度或埋地深度。本文研究的架空线缆为半径r_j的裸导线，埋地线缆为外径r_2j和内径r_1j的绝缘电缆。

图  1  外场辐照架空和埋地多导体线缆示意图

Figure  1.  Geometric configuration for external field coupling to overhead and buried transmission lines

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根据Agrawal模型，沿线感应电压和感应电流满足Laplace域电报方程

式中：V_n×1^s和I_n×1分别表示散射电压和全电流矢量；E_{x n×1}^tran为沿线电场水平矢量；轴向单位长度阻抗矩阵Z_n×n和横向单位长度导纳矩阵Y_n×n的表达式如下

式中：Z_i, P_i, Z_g和P_g分别表示线缆单位长度内部阻抗矩阵、内部电位系数矩阵、大地阻抗矩阵和大地电位系数矩阵。

式中：矩阵Z_i和P_i的非对角元素为0；Z_gjk和P_gjk(1≤j，k≤n)为第j根和第k根线缆的互大地阻抗和互大地电位系数。

架空线缆和埋地线缆的单位长度阻抗和导纳矩阵表达式不同。值得注意的是，对于多导体架空线缆，大地导纳对总并联导纳的影响微不足道，因此可以在计算中忽略不计来简化建模过程。与架空线缆不同，已证明埋地线缆的单位长度导纳(电位系数)对响应结果影响较大，不可忽略。架空线缆的具体参数表达式及建模过程在本文中不再赘述。对于埋地电缆，本文采用文献[12]中提出的(互)大地阻抗和(互)大地导纳(电位系数)的通用解析表达式。该表达式由电磁场方程严格推导得出，并考虑了问题涉及所有介质的电磁特性, 具体为

其中，

式中：λ是积分变量；$\alpha_k=\sqrt{\lambda^2+\gamma_k^2+k_x^2} ; \gamma_1^2=\mathrm{j} \omega \mu_0\left(\sigma_{\mathrm{g}}+\mathrm{j} \omega \varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{rg}}\right) ; \gamma_0^2=-\omega^2 \mu_0 \varepsilon_0$。上述表达式包含半无穷积分，需采用文献[13]中的数值积分法计算。对于利用FDTD法求解埋地电缆的耦合响应，需将频变大地参数进行数值逆傅里叶变换或矢量匹配，进而得到时域单位长度参数。显然这一步骤会增加求解复杂度，且该过程中存在近似，造成一定的计算误差。因此本文将时域宏模型法用于埋地电缆的响应求解，在保证准确性的前提下，简化求解步骤，提高计算效率。基于广义特征线法，电报方程(1)的时域解可表达为

式中：$\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{V}(0, t) \\ \boldsymbol{V}(l, t) \end{array}\right]_{2 n \times 1}$和$\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{I}(0, t) \\ \boldsymbol{I}(l, t) \end{array}\right]_{2 n \times 1}$为线缆首末端感应电压和感应电流；l为线缆长度；E₁(t)和E₂(t)为与入射电场相关的受控电压源；*表示卷积；特征阻抗矩阵Z_C(t)和传播常数矩阵H(t)可分别定义为

根据式(12)可构建与线缆首末端电压和电流相关的宏模型。然而，建立时域宏模型的难点主要为式(13)和(14)中的拉普拉斯逆变换，以及时域内的递归卷积计算。根据文献[11]，SPICE仿真求解器中ABM库的受控电压或电流源器件(E和G)可在瞬态分析中计算电路变量(电压或电流)的卷积表达式，并利用频率表直接表示频率相关变量。因此，将该方法应用于式(12)~(14)，可构建外场辐照下埋地多导体电缆的电路宏模型，如图 2所示。其中，电压源V_s1j和V_s2j(j=1, …, n)用于得到端口电流；E_z1j和E_z2j(j=1, …, n)可分别实现式(12)中的卷积Z_C(t)*I(0, t)和Z_C(t)*I(l, t)；E_c1j和E_c2j(j=1, …, n)用于分别计算卷积H(t)*[V(l, t)－Z_C(t)*I(l, t)]和H(t)*[V(0, t)+Z_C(t)*I(0, t)]；E_1j和E_2j(j=1, …, n)分别对应式(12)中的E₁(t)和E₂(t)。具体实现受控电压或电流源时频率范围f_c，分辨率Δf以及等间隔频点数P等参数的选取可参考文献[11]。

图  2  多导体埋地电缆等效电路示意图

Figure  2.  Equivalent circuit of n-conductor underground cables

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2.   HEMP环境计算及特征分析

架空输电线路面临的地上HEMP环境及特征已在相关文献中获得较多的关注和研究^[14]。本节主要研究HEMP透射入地下的电场环境特征。与架空线路不同，由于透入土壤中电场的垂直分量小到可以忽略，埋地电缆上的感应电流主要与土壤中透射电场的沿线水平分量(图 1中x轴方向)相关。平面波激励下，透射电场x轴方向分量表达式为

式中：ψ_t为透射角；E_v和E_h分别为入射场的垂直极化和水平极化分量；T_v和T_h为菲涅尔反射系数。为研究土壤中的透射电场环境，以及与大地电参数及深度等相关的变化特性，分别在时域和频域内进行计算分析。本文采用IEC61000-2-9标准给出的电场时域表达式：E₀(t)=6.5×10⁴×(e^－t×4×107－e^－t×6×108) V/m。

首先，分别研究土壤电导率σ_g分别为0.1，0.01，0.001，和0.000 1 S/m时距地面1 m深度处，以及土壤电导率为0.001 S/m时距地面深度h分别为0，1，2和5 m处土壤中的时域电场波形。为使线缆获得最大电场激励，本节计算中采用ψ=90°和φ=0°的垂直极化波。计算结果如图 3所示。

图  3  不同土壤电导率和深度处透射电场时域波形

Figure  3.  Time-domain waveform of transmitted electric field for different ground conductivities and depths

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距地面1 m处，不同土壤电导率σ_g对应的透射电场水平分量时域波形见图 3(a)。由图可知，随土壤电导率的增加，透射电场幅值降低，且波形前沿变缓，脉宽变宽。上述结果表明：土壤中的电场透射分量随土壤电导率的增加而衰减，尤其是电场的高频分量衰减更快。特别的，当大地为理想导体时，电场在空气-大地分界面将发生全反射，不会透射入土壤中。土壤电导率为0.001 S/m时不同深度处对应的透射电场水平分量时域波形见图 3(b)，随着深度增加，透射电场幅值衰减增大，波形基本不变。

下面在频域内分别研究不同大地电导率对应的透射电场水平分量频谱(幅度谱)和累积能流谱，并分析其特征。由帕斯瓦尔定理，可定义能谱S=2|E|²/Z来描述能流随频率的变化，Z为波阻抗。因此HEMP透射入土壤内电场的归一化累积能流可表达为^[14]

图 4和图 5分别为不同土壤电导率和深度对应的透射电场频谱图(幅度谱)，以及归一化累计能流随频率变化的曲线。作为对比，自由空间中入射电场频谱图和累积能流也示于图中(E_in)。由幅度谱可知，透射电场与入射电场相比幅值大大减小，带宽变窄。且随土壤电导率和深度的增加，幅值和带宽衰减更快。相应的，由累计能流谱可知，与IEC标准电场波形的96%能流分布范围100 kHz~100 MHz相比，随土壤电导率和深度的增加，透射电场能流分布的主要频率范围变窄且频率值降低。

图  4  不同土壤电导率对应的透射电场幅度谱和归一化累积能流谱

Figure  4.  Amplitude frequency spectrum and cumulative amount of energy fluence of transmitted electric field for different ground conductivities

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图  5  不同距地面深度对应透射电场的幅度谱和归一化累积能流谱

Figure  5.  Amplitude frequency spectrum and cumulative amount of energy fluence of transmitted electric field for different depths

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由以上时域和频域分析可知，土壤对入射波的透射可降低电场的幅值和带宽。且土壤电导率越大，距地面深度越深，透射电场强度越弱。

3.   HEMP辐照架空及埋地线缆的瞬态响应计算

作者在文献[11]中已通过若干算例验证了所提宏模型在计算架空多导体传输线对入射场耦合响应的有效性。算例1中首先研究外场辐照有损大地上的架空传输线，并与文献[15]中利用BLT方程计算所得的结果作对比；算例2中利用所提宏模型研究了HEMP辐照750 kV架空输电线路时架空地线对线缆末端响应的影响；算例3计算了文献[16]中外场辐照单根埋地绝缘电缆的情况，从而验证了宏模型法求解埋地电缆瞬态响应的有效性；最后研究了埋地多导体电缆金属护套端接线性负载及非线性电压保护器件时的瞬态响应。

3.1   算例1

图 6为算例1示意图。三根架空线组成的一分二传输线网络受入射平面波激励。传输线和土壤的具体参数均示于图中。采用IEC61000-2-9标准给出的HEMP时域电场波形，入射场仰角、方位角和极化角分别为ψ=60°, φ=0°和α=0°。建立宏模型计算负载R₁，R₂和R₃上的电压响应，与中利用BLT方程计算的结果进行对比。本算例中宏模型受控源的频率范围f_c和频点数P分别设置为100 MHz和4096，相应的，分辨率Δf为24.4 kHz。

图  6  外场辐照架空线示意图

Figure  6.  Geometry of transient plane wave coupling to overhead transmission lines

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从图 7可以看出，宏模型法和BLT方程计算得到的负载上感应电压吻合地较好，从而证明了宏模型法在计算架空传输线对入射平面波耦合响应时的有效性。

图  7  负载R₁，R₂和R₃上感应电压比较

Figure  7.  Comparing results of induced voltages at the terminal ends obtained via macromodel and BLT in Ref[15]

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3.2   算例2

本算例以HEMP辐照750 kV三相单回交流输电线路为例，研究架空地线对线路末端响应的影响。具体线路参数如下：导线采用六分裂，子导线型号为LGJ-400/50，分裂间距400 mm；双架空地线均采用镀锌钢绞线，型号为JLB20A-150；杆塔采用酒杯型塔，塔上架空两根架空地线，三相导线呈水平排列。相间距、地线间距和各线高度示于图 8中。输电线路杆塔档距为500 m，本例中计算4档距即长度为2 km，并考虑线路转角时的三相线路末端耦合响应，如图 9所示。入射场仰角、方位角和极化角分别为ψ=90°, φ=0°和α=0°。土壤电导率取0.001 S/m，相对介电常数取10。

图  8  三相输电线和两条地线配置图

Figure  8.  Configuration of three phase lines and two ground wires

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图  9  外场辐照750 kV三相单回交流输电线路示意图

Figure  9.  Geometry of plane wave coupling to 750 kV three-phase single-back overhead power lines

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为了抑制和削弱导线电晕防电，高压交流输电导线一般采用分裂型式，起到扩大导线等效半径的作用。750 kV输电线路通常采用六分裂导线，如图 10所示。由于各分裂导线处于同一电位，为准确而高效地计算输电线路的响应，可先将其等效为单根导线，具体等效半径公式为R_eq=R(nr/R)^1/n。因此，计算可得本例中六分裂导线等效半径为0.307 7 m。

图  10  六分裂导线示意图

Figure  10.  Geometry of 6-bundle-subconductor transmission line

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三相输电线路首末端接匹配阻抗，架空地线通过杆塔接地，接地电阻取10 Ω。利用宏模型分别建模计算并比较不考虑地线和考虑地线时线路末端匹配阻抗上的电压响应，结果如图 11所示。由图 11可以看出，架空地线对入射平面波具有一定的屏蔽作用，可以在一定程度上降低三相输电线上的感应电压，而此前大部分文献中未考虑架空地线与三相输电线的相互作用，从而造成计算响应结果的不准确。

图  11  三相感应电压

Figure  11.  Induced voltages on three phases

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3.3   算例3

图 12为算例3示意图，入射平面波辐照一根100 m长埋地绝缘电缆。具体入射波参数及电缆和土壤参数均示于图中。利用文中方法计算土壤电导率分别为0.01，0.001，0.000 1和0.000 01 S/m时电缆末端负载感应电流，并与文献[16]中的结果进行对比。

图  12  外场辐照端接接地电阻的单根埋地绝缘电缆示意图

Figure  12.  Geometry of transient plane wave coupling to a buried insulated cable loaded with grounding resistances

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从图 13仿真结果比较可以看出，不同大地电导率对应的感应电流仿真结果吻合较好，证明了宏模型法计算埋地电缆响应的有效性。使用文中所提宏模型计算时间都在10 s以内，且已证明该方法计算时间与线缆长度无关，仅与线缆根数和ABM库受控源频点数P等影响模型复杂度的因素有关，这一特点将保证计算效率不受线缆长度的限制。另外观察图 13可知，随土壤电导率的增加，感应电流幅值呈下降趋势。分析认为这主要是由于透射入土壤的瞬态场强度随着土壤电导率的增大而减小，相应耦合到电缆上的电磁能量随之降低。这一特点与上一小节所得结论一致。

图  13  不同土壤电导率对应的电缆末端瞬态感应电流比较

Figure  13.  Comparison of transient induced currents at the far terminal grounding resistive for different ground conductivity

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3.4   算例4

算例4研究110 kV埋地三相单芯电缆的瞬态响应，三相电缆呈正三角形排列，如图 14(a)所示。实际运行时，当单芯电缆导电线芯有电流流过时，会有磁力线交链金属护套，使其两端产生感应电压。若将金属护套两端三相互联接地，则金属护套上将会出现很大的环流电流，这不仅在护套中形成热损耗，加速绝缘老化，还会使电缆载流量降低。因此通常情况下，单芯电缆的金属护套必须接地，但不能两端直接接地。然而，当金属护套仅一端接地时，若线路上传来雷电或操作过电压波，或外场辐照电缆，电缆金属护套的不接地端会感应出现很高的冲击电压，电缆外护层绝缘有可能损坏，造成多点接地故障。因此，在电缆一端互联经接地电阻接地时，另一端必须接护层过电压保护器来限制过电压，如图 14(b)所示。本算例建立宏模型仿真计算HEMP辐照埋地三相单芯电缆时，电缆金属护套接非线性保护器时的感应电压。具体参数如下：大地电导率为0.001 S/m，相对介电常数为10，相对磁导率为1；电缆长度为500 m；电缆金属护层半径为32.75 mm，护层绝缘层半径为36.75 mm；接地电阻为5 Ω。采用IEC61000-2-9标准给出的入射电场，入射角度分别为ψ=45°, φ=0°和α=0°。护层保护器采用BHQ-8/600，其非线性伏安特性如图 15所示。

图  14  三相埋地单芯电缆一端互联经护层过电压保护器接地示意图

Figure  14.  Configuration of three-phase buried cables connected with sheath protector

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图  15  护套保护器BHQ-8/600的伏安特性

Figure  15.  V-I characteristic of sheath protector BHQ-8/600

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图 16是A，B，C三相电缆金属护套端接保护器时的感应电压，作为对比，护套开路时三相末端上的感应电压也在图中给出。图中金属护套开路时A相感应电压高于B相和C相，约为62 kV，该电压值高于护套绝缘层的冲击绝缘水平37.5 kV^[17]。当金属护套通过保护器互联接地时，感应电压峰值明显被抑制，保护器残压值的1.4倍仍低于护套绝缘水平^[17]。

图  16  电缆金属护层末端感应电压

Figure  16.  Induced voltages at the end of metallic sheath

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4.   结论

本文介绍了一种用于计算入射场辐照下架空及埋地线缆瞬态响应的高效时域宏模型。与现有算法相比，该时域法简化和加快了建模和仿真过程，特别是对于含有非线性元件的长多导体线缆。另外，本文在时域和频域内分别分析了HEMP环境及特点，重点研究土壤对入射电场的透射作用。结果表明，透射电场强度受土壤电导率和透射深度影响。随土壤电导率和透射深度的增加，土壤对电场的衰减作用增大，尤其是电场中的高频分量较低频分量的衰减更快。利用所提方法研究了架空地线对三相输电线路瞬态响应的影响以及埋地电力电缆金属护套在端接线性及非线性保护器件时的瞬态响应。本文研究结果可对架空及埋地电力系统对HEMP的防护工作提供参考。