传输线方程的高精度龙格−库塔数值求解方法

王旭桐; 周辉; 马良; 程引会; 李进玺; 刘逸飞; 赵墨; 郭景海; 王文兵

doi:10.11884/HPLPB202032.190402

传输线方程的高精度龙格−库塔数值求解方法

doi: 10.11884/HPLPB202032.190402

西北核技术研究院强脉冲辐射环境模拟与效应国家重点实验室，西安 710024

基金项目: 强脉冲辐射环境模拟与效应国家重点实验室基金（SKLIPR1702）

详细信息

作者简介:
王旭桐（1996—），男，硕士，研究实习员，从事电磁场数值仿真研究；wangxutong@nint.ac.cn

中图分类号: O441.4
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出版历程
- 收稿日期: 2019-10-14
- 修回日期: 2019-11-25
- 刊出日期: 2020-02-10

High-precision Runge-Kutta method for transmission line equation

State Key Laboratory of Intense Pulsed Radiation Simulation and Effect, Northwest Institute of Nuclear Technology, Xi'an 710024, China

摘要

摘要: 提出了一种求解传输线方程的高精度龙格-库塔（RK）方法。此方法在空间上采取高阶泰勒展开，提高了对空间微分的近似精度，减少了数值色散所带来的误差。与传统的时域有限差分法（FDTD）方法相比，在每波长采样数相同时，RK方法的计算精度更高。同时，根据Taylor模型，对外界平面波激励源进行离散，成功利用RK方法对外部场激励传输线进行求解，扩大了龙格−库塔方法在求解传输线方程时的应用范围。通过编程对平面波辐照下无限大地平面上的单导体与双导体的算例分别应用FDTD方法与RK方法进行了计算，验证了RK方法的正确性。结果表明同等计算条件下RK方法的计算精度更高。
- 龙格-库塔 /
- 场线耦合 /
- 传输线 /
- 时域有限差分 /
- 泰勒展开
Abstract: This paper presents a high-precision Runge-Kutta (RK) method for solving transmission line equations. This method adopts high-order Taylor expansion in space, which improves the approximation accuracy of spatial differentiation. Compared with the traditional finite element time-domain method, when the number of samples per wavelength is the same, RK method has higher precision. At the same time, according to the Taylor model, researchers use RK method to solve transmission line equation in the external field excitation. The correctness and high precision of the RK method are verified by numerical examples of our study.
- Runge-Kutta /
- field-line coupling /
- transmission line /
- FDTD /
- Taylor expansion

HTML全文

为了实现电源系统结构的紧凑型和小型化，如何在保证功率与效率情况下减小电源的体积与重量成为了需要解决的问题。高频交流链接技术(HF AC-Link)与传统的DC-Link技术相比，减少了AC-DC-AC中的直流变换部分，省去了包括中间储能电容在内的大量元器件，从而使电源结构更加紧凑^[1]。文献[2-6]对基于AC-Link技术的串联谐振充电电源进行了研究，对传统的AC-Link电路进行了改进，并使用状态平面分析法对电源的工作模式进行了分析，并进行仿真和实验验证。文献[7-8]对DC-Link技术的串联谐振的Buck-Boost电路的工作模式进行了分析，并引入状态平面分析法进行控制算法的分析。本文提出了一种基于AC-Link串联谐振的Buck-Boost电路拓扑结构，通过状态平面分析法，提出了一种控制算法，并进行仿真验证。仿真结果显示，控制算法能够实现Buck和Boost的功能，输入电流谐波含量低，并且可以实现变换器在较宽的范围内调节输出电压。

1. AC-Link串联谐振的Buck-Boost变换器结构

基于AC-Link串联谐振的Buck-Boost变换器拓扑结构如图 1所示, 该变换器拓扑结构由LC输入滤波器单元、IGBT开关矩阵单元、LC串联谐振单元、高频变压器和输出整流单元构成。LC输入滤波器单元为由滤波电容与滤波电感组成的二阶低通滤波器，用来滤除电路中的杂波，提高变换器系统的抗干扰能力。开关矩阵单元由12只IGBT组成，两个开关组成一组的双向开关构成全桥整流结构的6个桥臂。与之前提出的变换器拓扑结构整流输出单元采用4个不可控二极管作为开关器件不同的是，Buck-Boost变换器结构输出整流单元中，两个上桥臂采用不可控的二极管，下桥臂采用可控开关管IGBT。当变换器工作在Buck模式时，副边两个IGBT处于关断状态，能量可通过反并联在IGBT两端的二极管流动，此时整流结构与传统的整流结构一致。当变换器工作在Boost模式时，通过对下桥臂IGBT开关的控制，对副边变压器两端短路，原边谐振电感储存能量；当副边变压器两端导通时，谐振电感上储存的能量去补充输出电容的能量输出到负载，以实现Boost功能。

图 1 基于AC-Link技术的串联谐振Buck-Boost变换器拓扑结构

Figure 1. Topology of series resonant Buck-Boost converter based on AC-Link technology

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2. 状态平面图建立与分析

状态平面分析法适用于各类谐振变换器的分析, 它通过谐振变换器运行中分段线性的特点, 建立每一工作过程的特征方程, 构造每个工作过程的运行轨迹线, 并组合成闭合的稳态轨迹图, 通过图解分析其动态和暂态特性^[9-10]。基于状态平面分析法可对AC-Link串联谐振的Buck-Boost变换器的工作过程进行分析，可以根据每个过程的等效电路图得到相应的轨迹方程，进而建立状态平面图。根据状态平面分析法，提出基于该变换器的控制算法。

2.1 Boost模式与Buck模式的判定

在基于AC-Link的变换器，采用在半个谐振周期内进行相间切换的方式对三相输入的电流进行控制。在串联谐振的半个谐振周期内，电网三相中的其中任一相连接在串联谐振电路一端，另外两相分别依次连接到串联谐振电路的另一端。对于串联谐振电路，由电网三相组成的2个激励电压，高线电压V_n与低线电压V_m对串联谐振电路进行激励。高线电压V_n与低线电压V_m可以通过三相输入电压U_a，U_b，U_c两两相互组合计算出。将工频输入电压的一个周期分为12个区间，每个区间的工作相为π/6。以第一个区间为例，三相线电压的大小关系为U_cb>U_ab>U_ca。在第一区间内选取电压值较大的两个线电压U_cb与U_ab作为激励电压。将U_cb称为高线电压，记为V_n；将U_ab称为低线电压，记为V_m^[3]。

假设低线电压V_m激励时流入的电荷量为Q₁，从高线电压V_n激励时流入的电荷量为Q₂；可以根据流入的电荷量得到一个比值K。

$K=\frac{Q_1}{Q_2}$

(1)

定义等效激励电压为V_in；在谐振电路的半个谐振周期内，由低线电压V_m和高线电压V_n提供的能量应等于等效激励电压V_in提供的能量。

$V_{\mathrm{in}}\left(Q_1+Q_2\right)=V_{\mathrm{n}} Q_2+V_{\mathrm{m}} Q_1$

(2)

由式(1)~(2)可以得到等效激励电压的表达式为：

$V_{\mathrm{in}}=\frac{K V_{\mathrm{m}}}{1+K}+\frac{V_{\mathrm{n}}}{1+K}$

(3)

根据等效激励电压V_in与输出电压V_o间的关系可以判定出变换器工作的模式。因此，当满足V_in>V_o/n时，变换器工作在Buck模式；当满足V_in < V_o/n时，变换器工作在Boost模式。其中n为高频变压器的匝数比。

2.2 Boost模式状态平面图的建立与分析

根据2.1中对Buck、Boost模式的判定方式。当V_in < V_o/n时，变换器工作在Boost模式。在Boost模式整个工作过程中采用6个过程的工作模式，具体如下：第一个工作过程采用正向高线电压V_n激励；第二个工作过程采用正向高线电压V_n激励；第三个工作过程采用正向低线电压V_m激励；第四个工作过程采用负向高线电压－V_n激励；第五个工作过程采用负向高线电压－V_n激励；第六个工作过程采用负向低线电压－V_m激励。在Boost模式下的正半周的3个工作过程等效电路图如图 2所示，负半周的3个工作过程与正半周相似。

图 2 Boost模式正半周3个工作过程等效电路图

Figure 2. Equivalent circuit diagram of 3 working processes in Boost mode positive half-cycle

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选取谐振电感电流i_{L_r}和谐振电容电压v_{C_r}为状态变量，建立每个工作过程的状态方程。以第一个工作过程为例，可得状态方程如下

$v_{C_{\mathrm{r}}}=\frac{i_{L_{\mathrm{r}}}}{C_{\mathrm{r}}}$

(4)

$i_{L_{\mathrm{r}}}=\frac{V_{\mathrm{n}}-v_{C_{\mathrm{r}}}}{L_{\mathrm{r}}}$

(5)

解方程可得到对应的时域方程

$v_{C_{\mathrm{r}}}=V_{\mathrm{n}}+I_{L_{\mathrm{r}} 0} Z_{\mathrm{o}} \sin \omega t+\left(V_{C_{\mathrm{r}} 0}-V_{\mathrm{n}}\right) \cos \omega t$

(6)

$i_{L_{\mathrm{r}}}=I_{L_{\mathrm{r}}{ }^0} \cos \omega t-\frac{\left(V_{C_{\mathrm{r}} 0}-V_{\mathrm{n}}\right) \sin \omega t}{Z_{\mathrm{o}}}$

(7)

式中：I_{L_r0}为i_{L_r}起始时刻的值；V_{C_r0}为v_{C_r}起始时刻的值；ω为谐振角频率 $\omega=\frac{1}{\sqrt{L_{\mathrm{r}} C_{\mathrm{r}}}}$ ；Z_o为谐振阻抗， ${Z_{\mathrm{o}}}=\sqrt{\frac{L_{\mathrm{r}}}{C_{\mathrm{r}}}}$ 。将式(6)和(7)整理可得第一个工作过程的状态轨迹方程

$\left(v_{C_{\mathrm{r}}}-V_{\mathrm{n}}\right)^2+i_{L_{\mathrm{r}}}^2 Z_{\mathrm{o}}^2=\left(V_{C_{\mathrm{r} }0}-V_{\mathrm{n}}\right)^2+I_{L_r 0}^2 Z_{\mathrm{o}}^2$

(8)

同样也可以根据上述的方法推导出第2个工作过程和第3个工作过程的状态轨迹方程

$\left[v_{C_{\mathrm{r}}}-\left(V_{\mathrm{n}}-V_{\mathrm{o}} / n\right)\right]^2+i_{L_{\mathrm{r}}}^2 Z_{\mathrm{o}}^2=\left[v_{C_{\mathrm{r}} 0}-\left(V_{\mathrm{n}}-V_{\mathrm{o}} / n\right)\right]^2+I_{L_{\mathrm{r}} 0}^2 Z_{\mathrm{o}}^2$

(9)

$\left[v_{C_{\mathrm{r}}}-\left(V_{\mathrm{m}}-V_{\mathrm{o}} / n\right)\right]^2+i_{L_{\mathrm{r}}}^2 Z_{\mathrm{o}}^2=\left[v_{C_{\mathrm{r}} 0}-\left(V_{\mathrm{m}}-V_{\mathrm{o}} / n\right)\right]^2+I_{L_{\mathrm{r}} 0}^2 Z_{\mathrm{o}}^2$

(10)

根据上述的3个工作过程的状态轨迹方程可以得到稳态下正半周工作情况下的状态平面图如图 3所示。横轴坐标为谐振电容电压v_{C_r}，纵坐标为谐振电流i_{L_r}和谐振电路特征阻抗Z_o的乘积。其负半周的状态平面图与正半周轨迹相同，方向相反。A₁B₁为第一工作过程的运行轨迹，B₁B₂为第二工作过程的运行轨迹，B₂A₂为第三工作过程的运行轨迹。B₁为第一工作过程与第二工作过程切换点，B₂为第二工作过程与第三工作过程切换点。可以根据状态平面图中各个参数的几何关系，得到每个工作过程的工作时间。

图 3 Boost模式下正半周状态平面图

Figure 3. State-plane diagram of the Boost mode

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根据图 3的状态平面图中的几何关系可得

$r_1^2-\left(O_1-V_1\right)^2=r_2^2-\left(O_2-V_1\right)^2$

(11)

$r_3^2-\left(V_2-O_3\right)^2=r_2^2-\left(V_2-O_2\right)^2$

(12)

式中： $O_1=V_{\mathrm{n}} ; O_2=V_{\mathrm{n}}-\frac{V_{\mathrm{o}}}{n} ; O_3=V_{\mathrm{m}}-\frac{V_o}{n} ; r_1=O_1+v_{C_{\mathrm{r}}} ; r_3=v_{C_{\mathrm{r}}}-O_3$ 。

电网侧电荷分配的约束条件为

$K=\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{v_{C_{\mathrm{r}}}-V_2}{V_2+v_{C_{\mathrm{r}}}}$

(13)

根据r₁，r₃，K的关系，可以得到r₂的表达式为

$r_2=\sqrt{\frac{\left(O_1-O_2\right)\left(r_3^2+O_2^2-O_3^2\right)+(1+K)\left(O_2-O_3\right)\left(r_1^2+O_2^2-O_1^2\right)-2 K v_{C_\text{r}}\left(O_1-O_2\right)\left(O_2-O_3\right)}{\left(O_1-O_3\right)+K\left(O_2-O_3\right)}}$

(14)

在Boost模式下，一个工作周期内谐振电容电压的平均值为0，在正半周第一工作过程的起始时刻(A₁)与负半周第一工作过程的起始时刻(A₂)，谐振电容电压的绝对值相等，根据电容电压与电流关系推出其表达式为

$v_{C_{\mathrm{r}}}=\frac{P_{\mathrm{o}} T_{\mathrm{r}}}{4 C_{\mathrm{r}} V_{\mathrm{in}}}$

(15)

式中：P_o为输出功率；T_r为谐振频率；L_r为谐振电感的值；C_r为谐振电感的值。

$T_{\mathrm{r}}=2 \pi \sqrt{L_{\mathrm{r}} C_{\mathrm{r}}}$

(16)

由r₁，r₂，r₃，V₁和V₂，可以得到每个工作过程所需要的工作时间

$t_{1-\text { Boost }}=\frac{\arccos \left(\frac{O_1-V_1}{r_1}\right)}{\omega}$

(17)

$t_{2-\text { Boost }}=\frac{\arccos \left(\frac{V_1-O_2}{r_2}\right)-\arccos \left(\frac{V_2-O_2}{r_2}\right)}{\omega}$

(18)

$t_{3-\text { Boost }}=\frac{\arccos \left(\frac{\mathrm{V}_2-\mathrm{O}_3}{r_3}\right)}{\omega}$

(19)

式中：ω=2π/T_r。

2.3 Buck模式状态平面图的建立与分析

当V_in>V_o/n时，变换器工作在Buck模式。Buck模式下由高线电压V_n、低线电压V_m和0电压，三个激励电压对串联谐振电路进行激励。具体如下：第一个工作过程采用高线电压V_n激励；第二个工作过程采用正向低线电压V_m激励；第三个工作过程采用0电压激励；第四个工作过程采用负向高线电压－V_n激励；第五个工作过程采用负向低线电压－V_m激励；第6个工作过程采用0电压激励。在Buck模式下的正半周的3个工作过程等效电路图如图 4所示。

图 4 Buck模式正半周3个工作过程等效电路图

Figure 4. Equivalent circuit diagram of 3 working processes in Buck mode positive half cycle

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采用与Boost模式相同的分析方法，根据3个工作过程等效电路图所推导的轨迹方程可以得到稳态工作情况下的状态平面图如图 5所示。

图 5 Buck模式下正半周状态平面图

Figure 5. State-plane diagram of the Buck mode

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Buck模式与Boost模式相同，在正半周的起始时刻(A₁)与负半周的起始时刻(A₂)，谐振电容上的电压绝对值相等，其表达式为

$v_{C_{\mathrm{r}}}=\frac{n P_{\mathrm{o}} T_{\mathrm{r}}}{4 C_{\mathrm{r}} V_{\mathrm{o}}}$

(20)

电网侧电荷分配的约束条件为

$K=\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{V_2-V_1}{V_1+v_{C_{\mathrm{r}}}}$

(21)

由图 5中状态平面图中的几何关系可得到，同样可求解出在Buck工作模式下每一个工作过程所需要的工作时间

$t_{1-\text { Buck }}=\frac{\arccos \left(\frac{O_1-V_1}{r_1}\right)}{\omega}$

(22)

$t_{2-\text { Buck }}=\frac{\pi-\arccos \left(\frac{V_2-O_2}{r_2}\right)-\arccos \left(\frac{O_2-V_1}{r_2}\right)}{\omega}$

(23)

$t_{3-\text { Buck }}=\frac{\arccos \left(\frac{\mathrm{V}_2-\mathrm{O}_3}{r_3}\right)}{\omega}$

(24)

3. 仿真验证

为了验证根据状态平面图分析法所提出的控制算法，通过之前对变换器在Buck与Boost模式下的工作状态的分析，使用Matlab/Simulink软件搭建了仿真模型并在不同的工作模式下进行了仿真分析。仿真参数设置如表 1所示。

表 1 仿真模型参数

Table 1. Simulation model parameters

three-phase voltage/V	resonant inductor/μH	resonant capacitor/μF	load/Ω	transformer ratio	output capacitance/μF
380	20	0.9	18.75	1:1.5	47

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在三相输入电压为380 V的条件下，等效激励电压V_in的变化范围459~530 V。当设置输出电压V_o为600 V时，V_in>V_o/n成立，此时变换器工作在Buck模式。如图 6所示，变换器可以稳定的输出符合设定值的电压；输入电流谐波含量为3.13%，如图 7所示。当设置输出电压V_o为850 V时，此时变换器工作在Boost模式，与Buck模式一样可以得到稳定的输出符合设定值的电压；输入电流谐波含量为3.03%，如图 8和图 9所示。仿真结果显示，该控制算法，在Buck模式和Boost模式下，可以稳定的输出电压，具有较高的功率因数，输入电流谐波含量低。

图 6 Buck模式下600 V输出电压波形图

Figure 6. Output voltage 600 V in Buck mode

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图 7 Buck模式下输入电流谐波含量

Figure 7. Harmonic content of input current in Buck mode

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图 8 Boost模式下850 V输出电压波形图

Figure 8. Output voltage 850 V in Boost mode

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图 9 Boost模式下输入电流谐波含量

Figure 9. Harmonic content of input current in Boost mode

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4. 结论

本文对AC-Link串联谐振的Buck-Boost变换器拓扑结构通过状态平面图的建立和分析，提出一种控制算法。建立Matlab/Simulink建立仿真模型验证后，证明了控制算法的正确性。仿真显示，输出电压稳定，输入电流谐波含量低，可以实现变换器在较宽的范围内调节输出电压。

图 1 龙格-库塔方法的稳定性区域

Figure 1. Stability region of the Runge-Kutta method

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图 2 传输线模型

Figure 2. Transmission line model

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图 3 传输线左端电压

Figure 3. Voltage at left end of twin conductor transmission line

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图 4 多导体带状电缆模型

Figure 4. Model of multiconductor transmission lines

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图 5 传输线左端电压

Figure 5. Voltage at left end of multiconductor transmission line

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图 6 无损传输线模型

Figure 6. Lossless transmission line model

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图 7 负载电压波形

Figure 7. Waveform of load

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图 8 终端电压响应

Figure 8. Terminal voltage response

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参考文献(10)

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1. AC-Link串联谐振的Buck-Boost变换器结构
2. 状态平面图建立与分析
2.1 Boost模式与Buck模式的判定
2.2 Boost模式状态平面图的建立与分析
2.3 Buck模式状态平面图的建立与分析
3. 仿真验证
4. 结论

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传输线方程的高精度龙格−库塔数值求解方法

doi: 10.11884/HPLPB202032.190402

作者简介:
王旭桐（1996—），男，硕士，研究实习员，从事电磁场数值仿真研究；wangxutong@nint.ac.cn

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High-precision Runge-Kutta method for transmission line equation

1. AC-Link串联谐振的Buck-Boost变换器结构

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2. 状态平面图建立与分析

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传输线方程的高精度龙格−库塔数值求解方法

doi: 10.11884/HPLPB202032.190402

作者简介: 王旭桐（1996—），男，硕士，研究实习员，从事电磁场数值仿真研究；wangxutong@nint.ac.cn

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1. AC-Link串联谐振的Buck-Boost变换器结构

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2. 状态平面图建立与分析

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2.3 Buck模式状态平面图的建立与分析

3. 仿真验证

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王旭桐（1996—），男，硕士，研究实习员，从事电磁场数值仿真研究；wangxutong@nint.ac.cn