气囊抛光技术^[1-10]是一种新兴的抛光技术，其原理是以充气球冠型橡胶气囊作为抛光工具，采用特殊的进动抛光方式。其具有抛光效率高、加工精度高、柔性好等优点，广泛应用于非球面光学元件、复杂曲面模具等的抛光过程。国外，英国伦敦大学与ZEEKO公司合作开展了对气囊抛光技术的大量研究^[1-4]，成功研发IRP系列气囊抛光机床；国内，厦门大学^[5-10]和哈尔滨工业大学^[11-12]也开展了研究，厦门大学基于气囊抛光技术特点和关键技术的研究结果，成功研制5轴气囊抛光机床BP-2MK460。

现有对气囊抛光技术的研究大部分在机床结构下开展，但是开发精密抛光机床存在成本极高，开发周期长，而且运动控制复杂等问题，不利于技术的推广应用。工业机器人因具有柔性高、适应性强、易控制且成本低等优点，使其在加工领域的应用越来越广。针对高精度元件的机器人抛光技术的研究，D.D Walker^[12]使用机器人抛光系统抛光铝合金镜面，表面质量达到Sa 5 nm；浙江工业大学计时鸣团队^[13-15]利用工业机器人平台搭载磁控式气囊抛光工具，在金属模具抛光上取得了较高的抛光效率和均匀纹理。

工业机器人由于本体结构刚度低，在抛光过程中容易受力发生变形，末端的结构变形均将直接影响气囊抛光的效果；而且机器人末端刚度与姿态相关，不同的抛光姿态会导致不相等的变形量。对于气囊抛光，为了获得良好的表面质量，通常采用离散进动抛光方式，如图1所示。相对于整面单步抛光，多步离散下的机器人姿态具有更大的差异，末端结构变形更加难以预测，从而影响气囊抛光的稳定性。根据5轴气囊抛光机床的实际应用，为了保证气囊抛光的准确性，通常要求抛光斑稳定性在90%左右。因此，本文从机器人末端刚度模型入手，研究机器人在重力和抛光力作用下的结构变形对去除函数稳定性的影响。首先，建立含变形误差的去除函数模型；再通过建立机器人末端刚度模型和HBM测力仪得到变形值与实际压力值，以此计算实际的去除函数，最后，通过实验验证机器人气囊抛光的稳定性。

图  1  气囊离散进动抛光示意图

Figure  1.  Schematic diagram of bonnet discrete precession polishing

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1.   机器人气囊抛光系统刚度分析

工业机器人末端受外力作用时易发生机械结构变形，其中末端所受的外力载荷和末端微量变形满足

式中：F为广义力（即包括xyz方向上力和力矩），可表示为

$\Delta {{X}}$为广义变形（即包括xyz方向上线位移和角位移），可表示为

${{{C}}_\theta }$机器人末端柔度矩阵，是机器人末端刚度矩阵${{{K}}_\theta }$的逆矩阵。

机器人末端刚度矩阵K与机器人的雅可比矩阵J、力雅可比矩阵${{{J}}^{\rm{T}}}$和关节刚度矩阵${{{K}}_\theta }$相关，可表示为式（4），其中工业机器人各关节的刚度值${{{K}}_\theta }$主要和各关节的机械特性相关。机器人雅可比矩阵J和力雅可比矩阵${{{J}}^{\rm{T}}}$为转置关系。

本文采用矢量积法求解建立雅可比矩阵

式中：${{{z}}_i}$表示在基坐标系下第i关节的i坐标系的Z轴单位向量；$^i\!{{{p}}_n}$末端坐标系原点相对于i坐标系的位置矢量。结合机器人运动学公式，计算可得雅可比矩阵为

式中：${J_1} = \left(\! {\begin{array}{*{20}{c}} { - s_{1}(a_{2} + a_{4}c_{23} - d_{4}s_{23} + a_{3}c_{2})} \\ {c_{1}(a_{2} + a_{4}c_{23} - d_{4}s_{23} + a_{3}c_{2})} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}}\! \right),\;{J_2} = \left(\! {\begin{array}{*{20}{c}} { - c_{1}(a_{3}s_{2} + a_{4}s_{23} + d_{4}c_{23})} \\ { - s_{1}(a_{3}s_{2} + a_{4}s_{23} + d_{4}c_{23})} \\ { - (a_{3}c_{2} + a_{4}c_{23} - d_{4}c_{1}s_{23})} \\ { - s_{1}} \\ {c_{1}} \\ 0 \end{array}} \!\right),\;{J_3} = \left(\! {\begin{array}{*{20}{c}} { - c_{1}(a_{4}s_{23} + d_{4}c_{23})} \\ { - s_{1}(a_{4}s_{23} + d_{4}c_{23})} \\ {d_{4}s_{23} - a_{4}c_{23}} \\ { - s_{1}} \\ {c_{1}} \\ 0 \end{array}}\! \right),\;{J_4} = \left(\! {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ { - c_{1}s_{23}} \\ { - s_{1}s_{23}} \\ { - c_{23}} \end{array}}\! \right)$， ${J_5} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ { - s_{1}c_{4} + c_{1}s_{4}c_{23}} \\ {c_{1}c_{4} + s_{1}s_{4}c_{23}} \\ { - s_{4}s_{23}} \end{array}} \right),\;{J_6} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ {s_{5}(s_{1}s_{4} + c_{1}c_{4}c_{23}) + c_{5}c_{1}s_{23}} \\ {c_{5}s_{1}s_{23} - s_{5}(c_{1}s_{4} - s_{1}c_{4}c_{23})} \\ {c_{5}c_{23} - c_{4}s_{5}s_{23}} \end{array}} \right)$；$s_{1}$表示$\sin {\theta _1}$，$c_{1}$表示$\cos {\theta _1}$，$s_{23}$表示$\sin \left( {{\theta _2} + {\theta _3}} \right)$，$c_{23}$表示$\cos \left( {{\theta _2} + {\theta _3}} \right)$，依此类推；${\theta _i}$表示机器人第i关节的关节转动角度。

根据建立的机器人末端笛卡尔刚度矩阵，可知其末端刚度随着机器人姿态的不同（关节转角不同）而变化。

根据式（1）可知，为获得末端结构变形量，除建立刚度矩阵外还需分析抛光过程中末端所受的载荷分布。抛光过程中机器人末端主要受气囊工具本身的重力和抛光区域的反作用力，如图2所示。其中${O_6}$为机器人末端原点，${O_{\rm{G}}}$为机器人末端工具重心，${O_{\rm{t}}}$为气囊球心，P为任意抛光点，$\alpha$为气囊离散抛光的姿态位置角。将末端气囊工具所受的重力等效为过其重心的合力G，抛光压力反作用力假设为一恒力F。

图  2  气囊抛光机器人末端受力分析

Figure  2.  Force analysis on the end of the bonnet polishing robot

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在操作空间内，机器人末端受力为

然后选定抛光点位置，再确定机器人气囊抛光系统的实际加工参数，选取气囊抛光下压量为0.6 mm，抛光进动角为20°，抛光姿态位置角分别为（0°, 90°, 180°, 270°），记录机器人关节角$(\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{\theta _1}}&{{\theta _2}}&{{\theta _3}}&{{\theta _4}}&{{\theta _5}}&{{\theta _6}} \end{array}} \right)$于表1。根据式（1）～式（7）可得机器人末端变形量，结果见表2。

表  2  机器人末端变形理论计算结果

Table  2.  Theoretical calculation results of robot end deformation

four × 90° steps	x direction/mm	y direction/mm	z direction/mm	whole deformation/mm
0°	0.1206	0	−0.2710	0.2966
90°	0.1221	0.0003	−0.2778	0.3034
180°	0.1238	0	−0.2846	0.3103
270°	0.1221	−0.0003	−0.2778	0.3034

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结果显示在抛光过程中末端变形主要发生在z方向上，变形量大小顺序为${\varDelta _1} < {\varDelta _2} = {\varDelta _4} < {\varDelta _3}$，即姿态位置角为0°的机器人末端变形量最小，姿态位置角为90°和270°的机器人为对称姿态，其变形量相等，最大变形发生在姿态位置角为270°的抛光姿态。

表  1  机器人4步定点抛光关节转角

Table  1.  Robot fixed-point polishing joint angle in four steps

four × 90°steps	${\theta }_{1}$/（°）	${\theta }_{2}$/（°）	${\theta }_{3}$/（°）	${\theta }_{4}$/（°）	${\theta }_{5}$/（°）	${\theta }_{6}$/（°）
0°	0	32.36	14.80	0	22.84	0
90°	−4.41	39.06	3.48	25.65	51.99	−21.17
180°	0	45.76	−8.29	0	72.53	0
270°	4.41	39.06	3.48	−25.65	51.99	21.17

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2.   机器人材料去除函数稳定性分析

机器人刚度随姿态的不同实时变化，在抛光过程中机器人末端受载后主要表现Z方向的变形。而气囊抛光下压量的不同会影响抛光材料去除效果，本节主要研究机器人末端变形对气囊抛光材料去除的影响。过程中适当简化机器人末端变形对气囊材料去除的影响，主要关注末端变形对抛光区域内速度和抛光压力的影响，基于Preston方程，得到结构变形对气囊抛光材料去除函数的影响。

2.1   气囊抛光理论去除函数建模

基于Preston假设，工件表面材料去除量d_z与抛光压力p，抛光速度v以及比例系数K成正比，其中比例系数K与抛光环境、抛光液等相关。针对工业机器人与气囊抛光的特点，多采用分步离散进动抛光，其去除函数可表达为

式中：T为驻留时间；n为离散步数。

根据气囊特殊的进动抛光特点建立气囊进动抛光速度模型，其中半柔性气囊半径为R，气囊抛光进动角为$\rho$，气囊抛光过程中主轴速度${\omega _{\rm{H}}}$，下压量l，如图3建立坐标系：${O_1}$和${O_2}$分别表示气囊球心和接触区圆心，B是接触区中的任意一点，${{{v}}_{\rm{B}}}$为B点处有效的抛光速度矢量。

图  3  气囊进动抛光速度模型

Figure  3.  Bonnet precession polishing speed model

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考虑离散抛光过程中各步气囊姿态的不同导致速度方向的不同，则N步离散进动抛光，第i步抛光姿态下抛光区域内的有效速度分量的表达式为

式中：${l_{\rm{B}}} = (R - l)\sin \rho - x\cos \rho$；${\alpha _i}$表示第i步抛光姿态下的方向角，设定初始抛光姿态${\alpha _1} = 0$，则${\alpha _i}$表达式为

且在理想多步离散抛光情况下，各步的抛光区域半径相等，且理论大小计算式为

抛光接触区域压力分布采用有限元仿真(见表3)与数值拟合建立压力分布模型。首先建立气囊接触模型为非线性接触模型，导入ANSYS Workbench求解时需设定相应的非线性选项，保证其运算收敛。

表  3  气囊抛光有限元仿真设定条件

Table  3.  Setting conditions of bonnet polishing finite element simulation

bonnet radius/mm	tool offset/mm	precession angle/(°)	inner pressure/MPa	rotation speed/(r·m−1)
80	0.2，0.6，1	20	0.25	1000

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提取接触面压力结果，仿真结果见图4。随着下压量的增大，接触斑直径不断增大，区域内的最高接触压力${p_{\max }}$也迅速增大。

图  4  气囊抛光接触区域压力分布仿真

Figure  4.  Simulation of pressure distribution in the bonnet polishing contact area

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抛光区域的压力分布呈类高斯分布，进一步采用数值拟合建立压力分布模型，目标函数为类高斯函数见式（12）。采用非线性最小二乘法拟合数据，获得接触区域内压力分布模型。

式中：${p_{\max }}$为最大接触应力；$\lambda$为任意点到中心点的距离；$\sigma$为标准差；$\varphi$为修正系数。

采用下压量0.6 mm的仿真数据，使用Matlab软件进行数据拟合，其结果如表4和图5所示。

表  4  接触压力数值拟合结果

Table  4.  Numerical fitting results of contact pressure

maximum stress/MPa	standard deviation $\sigma$	modification coefficient $\varphi$
1.708 2	1.231 5	0.175 5

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图  5  接触区抛光压力仿真拟合结果

Figure  5.  Simulation fitting results of polishing pressure in contact area

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根据以上步骤获得抛光区域内的速度和压力分布模型，采用归一化方法，建立气囊抛光理论材料去除函数，去除函数呈左右对称如图6所示。

图  6  去除函数仿真建模

Figure  6.  Simulation modeling of removal function

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2.2   机器人刚度对气囊材料去除函数影响建模

实际抛光过程中，机器人末端变形直接影响机器人末端法兰中心的空间位置，最终导致气囊球心偏离理想位置，产生一定的空间误差。如图2所示，气囊工具与机器人末端采用直连方式，可建立气囊球心C与机器人末端法兰中心${O_6}$的空间变换关系为

式中：${{T}} ({\textit{z}},d)$为平移矩阵；d为机器人末端法兰中心到气囊球心的距离。

可通过上文计算获得的机器人末端变形量获得气囊球心空间位置误差为

式中：$(\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta x}&{\Delta y}&{\Delta {\textit{z}} } \end{array}} \right)$为机器人末端法兰中心的xyz方向的变形量。

机器人受力变形导致气囊球心产生位置误差，进而影响抛光点的位置和抛光参数。实际抛光过程中机器人变形量$(\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta x}&{\Delta y}&{\Delta {\textit{z}} } \end{array}} \right)$对气囊抛光材料去除的影响可将其简化为对抛光速度和接触压力的影响。4步离散抛光机器人变形对抛光区域影响如图7所示。

图  7  结构变形对抛光区域影响示意图

Figure  7.  Schematic diagram of the influence of structural deformation on the polishing area

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代入误差值，第i步抛光的抛光区域理论半径为

抛光区域大小为

同理可得${d_y}$。

对抛光区域内的速度分布影响为

式中：${L_1} = \left( {R - l - \Delta { {\textit{z}} _i}} \right)\sin \rho - \left( {x - \Delta {x_i}} \right)\cos \rho ;\; {L_2} = \left( {y - \Delta {y_i}} \right)\cos \rho$。

对抛光接触压力分布的影响：拟合获得的压力分布函数需采用实测压力修正接触压力。

式中：$r_i^2 = {\left( {x - \Delta {x_i}} \right)^2} + {\left( {y - \Delta {y_i}} \right)^2}$；${\mu _i}$为修正因子；${\mu _i} = {F_i}/{F_{{\rm{simulation}}}}$；${F_i}$为实测压力；${F_{{\rm{simulation}}}}$为接触应力仿真中表面节点中最大的压力值。

因此，工业机器人因刚度不同导致末端产生不同的变形量将直接影响抛光区域内的速度和压力分布，进而影响实际的材料去除。结合式（8）可得实际情况下的去除函数$d_{ {\textit{z}} _r}$表达式为

2.3   机器人气囊抛光稳定性分析与实验

为分析变形对实际去除函数的影响，首先设计气囊抛光接触压力修正实验，获得不同姿态下接触区域内的实际压力数据修正仿真值。实验使用德国HBM公司S型S2M力传感器和配套软件测量离散姿态下的接触压力，设置传感器采样频率为300 Hz，精度等级可达0.02，最小额定量程10 N。测量平台如图8所示，测试条件如表5所示，计算获得接触区域内压力平均值，结果如表6所示。

图  8  接触压力测量

Figure  8.  Contact pressure measurement system

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表  5  气囊抛光实验参数

Table  5.  Bonnet polishing experiment parameters

bonnet radius/ mm	precession steps	tool offset/ mm	precession angle/（°）	inner pressure/ MPa	rotational speed/(r·min−1)	dwell time (each step)/s
80	4	0.6	20	0.25	500	20

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表  6  静态压力测量结果

Table  6.  Static pressure measurement results (N)

experimental group	F (1st step/0°)	F (2nd step/90°)	F (3rd step/180°)	F (4th step/270°)
1st	105.5	108.7	113.6	105.1
2nd	101.2	106.1	116.6	116.8
3rd	91.4	94.2	103.2	89.3
mean	99.4	103.1	111.1	103.79

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分析接触压力测量数据，其结果显示平均压力大小关系为${F_1} < {F_2} \approx {F_4} < {F_3}$，最大抛光压力出现在姿态位置角为180°的姿态，最小为0°，姿态位置角90°和270°的接触压力相差不大。对比前面计算所得的机器人末端变形数据，由表2可知各姿态下机器人的Z向变形关系为${\varDelta _{ {\textit{z}} 1}} < {\varDelta _{ {\textit{z}} 2}} =$${\varDelta _{ {\textit{z}} 4}} < {\varDelta _{ {\textit{z}} 3}}$，且Z向的变形均呈现负向变形，即机器人末端变形量越大，气囊下压量越大，则接触压力也随之增大。可知压力修正实验结果与机器人末端刚度计算结果相符合。

基于有限元仿真和压力修正实验结果，可得到离散进动的理论抛光斑大小为${d_x} = 21.77\;{\rm{mm}};\;{d_y} = 22.96\;{\rm{mm}}$。

经计算，得到含机器人变形误差值后的去除函数结果如图9所示。从仿真结果可得在刚度的影响下，基于4步离散得到的气囊抛光去除函数未见明显的变化，在xy方向的截面形状均保持呈高斯形状，但其因实际抛光点和下压量的变化而产生微量的偏移。

图  9  考虑末端变形的实际去除函数仿真结果

Figure  9.  Simulation result of actual removal function considering end deformation

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采用4步离散定点抛光实验验证分析结果，实验参数如表5所示，在100 mm×100 mm的BK7光学玻璃的表面4个不同位置定点打斑，各点均相距40 mm。采用ZYGO NV7300白光干涉仪对抛光区域的三维轮廓进行测量，测量结果如图10所示。经过抛光，各个位置抛光斑直径都在15 mm左右，其与理论值存在较大的差别，主要有两个原因：（1）有限元仿真过程中忽略了气囊工具的柔性，且机器人刚度导致的变形存在误差；（2）由于抛光区域边缘去除量少、粗糙度大，ZYGO软件测量过程中边缘区域测量出现坏点，所以测量结果理论存在偏小情况。从测量结果可见不同位置的抛光斑在x，y方向的截面轮廓曲线均呈类高斯形状，且两方向上的轮廓曲线有较高的重合度，符合前文对机器人变形误差对去除函数影响的分析结果，可知姿态不同导致的刚度差异对4步离散抛光的影响较小。

图  10  不同抛光斑测量结果

Figure  10.  Measurement results of polishing spots

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除此之外，不同位置上的去除函数稳定性是实现实际加工的关键，为了探究机器人气囊离散抛光的稳定性，对比上述4个不同抛光斑内x方向截面的轮廓曲线，如图11所示，各个区域的最大去除深度（峰谷值，PV），以及相对误差值（以第一个抛光区域的去除深度为基准）见表7。从结果可见不同位置抛光斑去除深度的相对误差值小于5%；4个抛光区域的截面曲线有着很好的一致性，且均呈现左侧边缘略高于右侧情况，主要原因在于工件原始面形误差以及加工平台的平面度。由此可见该机器人气囊抛光系统在不同位置的离散抛光具有较高的稳定性，可满足实际抛光应用。

图  11  不同位置抛光区域x方向轮廓线对比

Figure  11.  Comparison of x-direction contour lines of polishing area at different positions

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表  7  抛光区域去除深度和相对误差值

Table  7.  Polished area removal depth and relative error value

experimental group	removal depth/μm	relative error/%
spot 1	13.249	0
spot 2	13.599	2.64
spot 3	13.864	4.64
spot 4	13.845	4.50

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3.   结　论

本文结合气囊抛光技术和工业机器人的特点和优势，开发机器人气囊抛光系统，研究机器人末端变形对气囊抛光去除函数的影响，对机器人气囊抛光实际应用具有重要意义。

（1）基于机器人动力学构造机器人雅克比矩阵，建立机器人刚度模型，获得末端载荷与变形的映射关系；分析气囊抛光时机器人末端载荷分布情况，结合刚度模型计算机器人气囊抛光时末端变形数据。

（2）基于Preston方程建立气囊抛光材料去除函数模型，分析机器人末端变形对于气囊多步离散进动抛光的影响，建立实际抛光的材料去除函数模型。

（3）设计机器人气囊定点抛光稳定性验证实验，分析定点抛光实验结果。不同位置的单点去除区域的XY方向轮廓曲线具有很好的重合性，对比不同位置的抛光区域最大去除深度，其相对误差小于5%，验证了机器人气囊抛光具有较好的稳定性。