Simulation of one-dimensional system generated electromagnetic pulse boundary layer
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摘要: 应用准第一性原理的PIC程序对系统电磁脉冲(SGEMP)一维边界层进行数值模拟，研究无限大介质板发射单一能量为2 keV、发射率为3.3×1020 m-2·s-1的光电子，发射角分布为余弦角分布，且平板上留下等量正电荷时的SGEMP效应，得出稳态后电子所能到达的最大距离约在5.8~7.5 cm之间振荡；发射表面z=0处的电荷密度在(6.0~9.0)×10－6 C/m3之间振荡；表面电场值在50~55 kV/m之间振荡；边界层达到准稳态的时间约为14.0 ns。将稳态模拟结果和理论估算结果进行对比，模拟结果较理论结果更加准确、形象地反映出SGEMP一维边界层的形成过程及稳态结构。Abstract: The one-dimensional system generated electromagnetic pulse(SGEMP) boundary layer is simulated by PIC code of quasi-first principle. The SGEMP effects of monoenergetic emission model are studied—the photoelectrons are emitted normally at 3.3×1020m-2·s-1 all with 2 keV energy from infinitely large dielectric plane while positive charges are left on the plane. When the steady state is reached, the maximum distance the electrons travel is oscillating between 5.8 cm and 7.5 cm, the charge density at z=0 is oscillating within (6.0-9.0)×10－6C/m3 and electric field at the surface is 50-55kV/m. The build-up time of quasi-steady state is 14.0 ns. The simulation results of steady state accord with the theoretic results, and the simulation results could image the forming process and the adiabatic oscillation of the steady state more clearly than the theoretic results. The modeling by PIC code to study SGEMP effects is validated.
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核爆炸时会产生核电磁脉冲，核电磁脉冲又可分为环境电磁脉冲和系统电磁脉冲(SGEMP)[1]，SGEMP形成过程中，飞行器表面材料受X射线照射后会产生光电子，一方面这些光电子在空间运动形成光电流，另一方面发出电子后系统表面会留下正电荷，引起系统内电荷迁移形成表面电流，同时系统表面的正电荷和空间中的光电子会共同激发很强的空间电场，会阻碍电子的运动，致使大量电子积聚在系统表面，形成边界层。SGEMP边界层特性研究是SGEMP研究的基础和重要内容，早在20世纪70年代，美国已开始对SGEMP进行系统研究[2-4]，并首先对一维边界层特性进行理论和数值模拟研究，给出SGEMP一维边界层的准稳态特性及准稳态的形成条件；对SGEMP一维边界层的动力学过程进行分析，给出与时间相关的定标关系[5]；但由于边界层形成过程的非线性效应，其理论估算很粗，只能是半定量的。国内周辉等人对SGEMP一维边界层的准稳态特性进行了理论分析和数值计算[1, 6-8]。本文将采用准第一性原理的PIC程序对SGEMP一维边界层进行数值模拟研究，以期对SGEMP效应进行深入研究。
1. SGEMP一维边界层准稳态理论
1.1 一维边界层模型
SGEMP边界层结构和X射线注量、能谱、时间波形以及系统材料的光电产额密切相关，当X射线注量很高或X射线脉冲变化缓慢时，边界层将很快形成并处于由瞬时通量决定的准稳态，当X射线注量较低或X射线脉冲变化迅速时不满足稳态条件，边界层处于非稳态，这时要解动力学方程[7]。当边界层很薄，以至于其厚度相对于发射表面径向尺寸很小时可近似为一维边界层问题，此时各个特征场量只随发射面的法向坐标变化，与沿发射面的径向坐标无关。
典型一维边界层模型如图 1所示，z方向是无限大平板的法线方向，X射线沿法向入射到平板上，由于光电效应平板发射光电子，光电子具有一定的能谱分布和角分布，同时平板表面留下等量的正电荷(不考虑发射面内的电荷迁移)，后续发射的电子在发射面正电荷和空间电荷共同作用下大部分被束缚在发射面附近，形成边界层。在一维边界层模型中空间电荷密度、电场等特征场量仅是法向坐标z的一维函数。
1.2 一维边界层准稳态理论
本文仅研究余弦角发射的单能光电子形成的一维边界层。根据一维边界层准稳态理论，假设角分布为余弦角分布的单一能量为w1的光电子以r0的发射率从系统表面发射，r0不随时间变化，采用高斯单位制，解泊松方程和波耳兹曼方程可以得各个特征物理量表达式[9]。
发射的光电子速度v1为
v1=√2w1/m (1) 式中：m为电子质量。
考虑到稳态情况下返回的电子和发射电子数相同，发射表面z=0处的空间电子数密度n(0)为
n(0)=4r0/v1 (2) 由等离子体理论可得边界层等离子体的德拜长度lD为
lD=√w14πe2n(0)=√w1v116πe2r0 (3) 式中: e为电子电量。
电子能到达的最大距离zmax为
zmax=2√3lD (4) 电子数密度的空间分布函数n(z)为
n(z)=n(0)(1−z/zmax)2 (5) 发射表面z=0处的电场强度E(0)为
E(0)=4√2πmr0v1/3=4w1ezmax (6) 由表面电场强度可得发射平板面电荷密度σ为
σ=√2mr0v1/3π (7) 发射的总电子数等于面电荷数Ns为
Ns=σe (8) 一维边界层准稳态的建立需经过一定的时间，当一定时间内发射的总电子数达到稳态边界层所需的电荷量Nst时，准稳态才可能形成，而对于建立稳态边界层所需的电荷量，理论上只能给出量级上的粗略估算[5]，即
Nst∼n(0)lD∼√mv1r02πe2 (9) 假设在准稳态建立之前，发射的电子没有逃逸的也没有返回的，可得
Nst=Ns=r0t (10) 由式(9)，(10)可估算建立准稳态边界层所需要的时间，实际情况中在达到准稳态之前，总有部分电子逃逸，同时也有部分电子返回，所以实际达到准稳态的时间要比理论估算值长。
2. SGEMP一维边界层的数值模拟
2.1 计算建模
采用准第一性原理的2.5维PIC程序对SGEMP一维边界层进行数值模拟，取发射率r0为3.3×1020m-2·s-1，单一能量w1为2 keV的光电子由无限大平面发射，发射角分布为余弦角分布，即发射的电子数与cosθ(θ为发射方向和法线方向的夹角)成正比。将光电子的特征参量作为输入参数，采用电磁模型进行模拟计算，计算模型如图 2所示，垂直于z方向放置的厚2.0 cm的介质板(取介质板而非金属板是因为一定厚度的金属板内随着电子的发射一定会发生电子迁移)沿z方向发射电子，z方向计算空间为-2.0~70.0 cm，即电子的发射面在z=0处，与x轴重合，x方向计算空间为0~20.0 cm，取周期性边界条件，即认为介质板是无限大的平板。电子发射率不随时间变化，模拟时间取为40 ns。z方向网格大小为1 mm，x方向网格大小为2 mm。程序根据Courant稳定条件自动确定时间步长，大小在ps量级，所用PIC程序是并行程序，采用4核处理器进行并行计算。计算外边界z=70.0 cm处设置理想吸收边界条件——PML电磁场吸收边界和电子吸收边界，发射的介质平板构成了空间电磁波和电子吸收的内边界。
实现电子发射的余弦角分布的方法是在程序中添加相应的功能模块——用蒙卡随机抽样的方法实现电子发射的余弦角分布。由电子发射的余弦角分布得出电子分布密度函数为f(θ)=cosθ，于是积分分布函数是F(θ)=∫θ0f(θ)dθ=sinθ，产生这个分布的方法为：第一步产生一个[0, 1]之间均匀分布的随机数r；第二步计算θ=arcsinr，然后vz=v0cosθ, vr=v0sinθ；最后产生[0, 2π]之间均匀分布的角度α，令vx=vrcosα, vy=vrsinα。为了方便，这一段程序用Python实现，然后导入到PIC程序中。
2.2 数值模拟结果
图 3为初始时刻电子的各个相空间图，由pz-z图可见法向速度最大的电子最多；py-px图显示切向速度为零(即法向速度最大)的电子最多，且沿x-y向均匀分布在半径为v1=2.65×107 m/s的圆环内；py-pz和py-pz-px图都同样显示电子分布在半径为v1=2.65×107 m/s的圆环或球面内，法向速度最大的电子最多。各图显示的正是单一能量余弦角发射的特征，说明发射电子的“余弦角分布”建模正确。
图 4为各个时刻电子的实空间分布，图 5为各个时刻电荷密度沿z坐标的分布，图 6为各个时刻电场沿z坐标的分布。由图 4可见，电子分布只沿法向变化，沿径向是均匀的，说明周期性边界条件设定合理，无二维边缘效应，无限大平板建模正确。综合分析图 4、图 5，达到稳态后电子边界层约在5.8~7.5 cm之间振荡，而求解式(1), (2), (3)可得lD=4.72 cm两者基本相符；结合图 4、图 5，再细致分析模拟结果(因各图分辨率不够)可得边界层达到准稳态的时间约为14.0 ns，而由式(1)，(7)，(8)，(10)可得达到准稳态的时间为7.11 ns，模拟计算到达准稳态的时间要长于理论估算值，由前面讨论可知，实际边界层的形成时间应该比理论估算值大，可见数值模拟较理论估算更贴近物理本质；由式(5)可得电荷密度随z坐标非线性减小，在zmax=16.35 cm处为0，即电子稳态后能到达的最大距离为zmax；而图 4、图 5显示，达到准稳态后，在边界层内电荷密度基本均匀分布，只是随时间存在小幅振荡，在边界层外的整个计算空间内都存在少量电子，不存在zmax，可见理论和模拟存在差距，这是因为本文的理论公式来自稳态理论，即假定电子发射和时间无关，边界层一直处于稳态，并且所有发射的电子都返回发射面，空间没有净电流存在。理论没有考虑电子发射之初的瞬态过程，也没有考虑电子能量高低、发射率大小对稳态形成过程的影响，事实上，初始时刻边界层还没有形成，已有大量电子逃逸到自由空间，且本模型中电子能量为2 keV，能量较高，即使边界层形成后仍有部分电子会穿过边界层运动，因此电子布满整个空间；模拟得到发射表面(z=0)处的电荷密度在(6.0~9.0)×10－6 C/m3之间振荡，而由式(2)可得发射表面的电荷密度理论值为n(0)=7.96×10－6 C/m3，理论和模拟结果基本一致。
图 5 不同时刻的电荷密度沿z坐标分布图Figure 5. Distribution of charge density along z-axis at different time
图 6 不同时刻电场沿z坐标分布图Figure 6. Distribution of electric field along z-axis at different time图 6给出各个不同时刻电场随z坐标的变化，由图 6可见空间电场以静电场为主，电场在发射表面取得最大值，在边界层以外迅速减小，和电子分布相同，电场也存在于整个空间中；表面电场最大值在50~55 kV/m之间振荡，而由式(4)和(6)计算可得电场最大值为49 kV/m。
由以上分析可见，对于边界层的各个特征物理量，数值模拟结果和理论计算结果基本符合，并且数值模拟较理论计算更准确、形象地反映准稳态形成的瞬态过程及其特性，例如模拟结果显示达到准稳态的时间较理论估算更长，电子、电场存在于整个空间。
3. 结论
发展模拟技术，应用准第一性原理的PIC程序实现了SGEMP一维边界层的模拟，模拟无限大介质板发射余弦角分布的单能电子，同时表面留下等量正电荷情况下所形成的一维边界层特性。用蒙卡随机抽样的方法实现电子发射的余弦角分布，采用周期性边界条件实现无限大平板的建模，采用介质板而非金属板避免了板内的电荷迁移。对模拟结果进行分析，得出数值模拟结果和理论结果可比，准稳态条件下各个特征场量都和理论估算值接近；对模拟和理论的不同之处进行分析，得出模拟较理论更加符合物理事实，如准稳态形成的时间更长，电子、电场分布于整个计算空间。
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图 5 不同时刻的电荷密度沿z坐标分布图
Figure 5. Distribution of charge density along z-axis at different time
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