Verification and validation of two dimensional magnetically driven simulation code MDSC2
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摘要: 为了对磁驱动实验提供高置信度的数值模拟，需要开展磁流体力学程序的验证与确认。采用人为解比较法、网格收敛性研究和与成熟程序比较等方法，对二维磁驱动数值模拟程序MDSC2进行了程序验证。数值模拟表明：MDSC2程序正确地表示了磁流体力学模型，其中热扩散、磁扩散的离散格式具有二阶收敛精度。采用与磁驱动实验相比较的方法，进行了MDSC2程序的确认。对聚龙一号装置上的PTS-061发次磁驱动单侧飞片发射和PTS-122发次磁驱动双侧飞片发射实验进行了模拟，模拟的飞片自由面速度与实验测量的飞片自由面速度相一致；对FP-1装置上的固体套筒实验进行了模拟，模拟的套筒内外半径与实验测量结果相一致。MDSC2程序能正确模拟磁驱动单侧飞片发射、磁驱动双侧飞片发射和磁驱动固体套筒等磁驱动实验。
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关键词:
- 二维磁驱动数值模拟程序 /
- 验证 /
- 确认 /
- 数值模拟
Abstract: Magneto-hydrodynamic (MHD) code has been widely used in the field of high current pulse technology, astrophysics and so on. Especially in recent years, with the rapid development of high pulse technology and magnetically driven experiments such as Z-pinch, magnetically driven flyer plate and magnetically driven quasi-isentropic/shock compression, experimental researchers and designers pay more and more attention to the correctness and reliability of MHD code. The verification and validation of the two dimensional magnetically driven simulation code MDSC2 is an important means to evaluate its correctness and reliability. In this paper, the MDSC2 code is verified by ways of comparison with artificial solutions, mesh convergence analysis and comparison with mature codes, and it is also validated by experiments, using magnetically driven one-sided flyer plate, magnetically driven two-sided flyer plates and magnetically driven solid liner. The numerical simulation shows that, the MDSC2 code not only correctly represents the MHD equations, but also can correctly simulate the magnetically driven experiments. -
随着Z箍缩、固体套筒内爆、磁驱动高速飞片发射、磁驱动准等熵/冲击压缩等磁驱动实验的开展[1-5]，磁流体力学数值模拟取得了巨大进展。欧美发达国家及俄罗斯等国研制了多个功能强大、具有大变形问题较强模拟能力的二维、三维辐射磁流体力学程序，用于各种磁驱动实验的研究。比较著名的磁流体力学程序有美国海军实验室研制的MACH程序[6]、美国Sandia国家实验室研制的ALEGRA程序[7]、英国帝国理工研制的GORGON程序[8]等。国内的磁流体力学程序研制起步较晚。经过十多年的发展，国内磁流体力学程序主要有北京应用物理与计算数学研究所研制的MARED程序[9]、中国工程物理研究院流体物理研究所研制的二维磁驱动数值模拟程序(MDSC2)[10-11]等。MARED程序主要用于高温高密度等离子体的Z箍缩内爆实验的理论研究[12]；MDSC2程序主要用于Z箍缩内爆、固体套筒内爆、磁驱动高速飞片发射、磁驱动准等熵/冲击压缩等实验的数值模拟和理论研究[13-17]。
在国外，程序的验证和确认工作属于热点问题，非常重要。NASA对计算流体力学程序验证确认的投入超过总投入的一半[18]。在国内，程序的验证与确认工作越来越受重视，杨明[19]、王瑞利[20-21]等做了许多工作。为了更好地设计、分析磁驱动实验，需要开展MDSC2程序的可信度研究，即程序的验证和确认。MDSC2程序的验证和确认需着眼于数值模拟的各个环节，分析每个环节的不确定性和误差，考察数值模拟的计算精度，确定MDSC2程序的可信度。本文采用人为解比较法、网格收敛性研究和与成熟程序比较的方法开展MDSC2程序的验证，并对磁驱动飞片发射、磁驱动固体套筒等磁驱动实验进行MDSC2程序的确认工作。
1. 物理模型
磁驱动数值模拟程序MDSC2是由中国工程物理研究院流体物理研究所开发的四边形网格上的二维磁流体力学拉格朗日程序。MDSC2程序已用于Z箍缩内爆、磁驱动高速飞片发射、磁驱动等熵压缩、磁驱动冲击压缩等磁驱动实验的研究中，不仅能正确模拟磁驱动实验的动力学过程，而且具有模拟多介质和物质弹塑性行为的能力。MDSC2程序求解的磁流体力学方程为
dρdt=−ρ∇⋅v (1) ρdvdt=−∇p+1μ0(∇×B)×B+∇⋅(σ+S) (2) ρde dt=−p∇⋅v+(ημ20∇×B)⋅∇×B+[(σ+S)⋅∇]⋅v−∇⋅Fdiff (3) dBdt=−∇×(ημ0∇×B)−(B∇⋅v−B⋅∇v) (4) 式中：ρ, e, v分别是流体的密度、比内能和速度；B是磁感应强度；Fdiff为热流；μ0真空磁导率；η是电阻率[22]；p是压强；σ是人工粘性张量；S是应力偏量；d/dt为Lagrangian导数。
MDSC2程序采用算子分裂法把磁流体力学方程(1)~(4)依次分成热扩散、磁扩散和理想流体力学三个物理过程进行求解。MDSC2是四边形交错网格程序，密度、比内能、磁感应强度等物理量定义在四边形网格的中心位置，速度和位移定义在四边形网格的顶点位置。MDSC2程序中，时间导数采用向后差分方法，空间导数采用有限体积方法进行离散，具体离散格式参见文献[10-11]。
2. MDSC2程序的验证
MDSC2程序的验证是确定MDSC2程序是否精确地表示了物理模型(1)~(4)。程序验证的方法通常有精确解比较方法、人为解比较方法、网格收敛性研究及与成熟程序结果比较等。对MDSC2程序中的热扩散、磁扩散过程采用人为解比较方法和网格收敛性研究相结合的方法进行验证；对于整个磁流体力学程序采用与国际上成熟程序结果比较的方法进行验证。
2.1 热扩散程序的验证
采用人为解比较方法和网格收敛性研究方法对MDSC2程序的热扩散求解进行验证。对MDSC2程序中现有的热扩散模块设计了测试模型。考虑下列模型问题
{−∇⋅(∇T)+T=x3−6x+1, in Ω∂T∂n|Γ1∪Γ3∪Γ4=0∂T∂n|Γ2=3x2cosα (5) 式中：T为因变量；x，y为自变量；Ω为图 1所示, 为A(0, 0)，B(1, 0)，C(1+0.5tanα, 0.5)(α为边界线CD与y轴的夹角)，D(1, 1)，E(0, 1)五点围成的区域，Γi(i=1, …, 4)为区域Ω的边界；n为区域Ω的外法向量。则T(x, y)=x3+1为模型问题(5)的真解。
表 1为MDSC2程序中的热扩散方程离散格式在不同网格规模与不同夹角情况下数值解的绝对误差和精度阶。从表 1可知，无论对正交计算区域(边界无扰动的计算区域)还是非正交计算区域(边界有扰动的计算区域)，MDSC2程序中热扩散方程的离散格式都是正确的，且具有二阶饱和误差阶，可用于磁流体力学程序的集成。
表 1 MDSC2程序中热扩散离散格式的逼近性Table 1. Approximation of the discrete scheme of thermal diffusion equation in MDSC2 codeα/(°) 32×32 grid 64×64 grid 128×128 grid 256×256 grid error rate error rate error rate error rate 0 6.40×10-4 - 1.60×10-5 4.0 4.00×10-6 4.0 1.00×10-6 4.0 30 3.89×10-4 - 9.94×10-5 3.9 2.52×10-5 3.9 6.35×10-6 4.0 60 1.70×10-3 - 4.45×10-4 3.8 1.14×10-4 3.9 2.87×10-5 4.0 80 1.80×10-2 - 4.71×10-3 3.8 1.20×10-3 3.8 3.04×10-4 4.0 2.2 磁扩散程序的验证
采用人为解比较方法和网格收敛性研究方法对MDSC2程序的磁扩散求解进行验证。对MDSC2程序中现有的磁扩散模块设计了测试模型。考虑笛卡儿坐标系下的模型方程
∇×(∇×B)+B=f in Ω (6) 其边界条件为
∂Bx∂y=0,∂Bz∂y=0,By=0,(x,y,z)∈Γ1∪Γ3 (7) Bx=gx,By=gy,Bz=gz,(x,y,z)∈Γ2 (8) Bx=0,By=0,Bz=0,(x,y,z)∈Γ4 (9) 式中：B，f，g为矢量；x，y，z为自变量；Bx，By，Bz分别为矢量B在x，y，z方向上的分量；gx，gy，gz分别为矢量g在x，y，z方向上的分量；Ω为图 2所示xy平面上A(1, 0)，B(2, 0)，C(2+0.5tanα, 0.5)(α为边界线CD与y轴的夹角)，D(2, 1)，E(1, 1)围成的五边形区域沿Z轴正向平移一个单位所形成的柱体，Γi(i=1, …, 4)为区域Ω的边界。若
\boldsymbol{f}=(x+{\rm{ \mathsf{ π} }} \cos ({\rm{ \mathsf{ π} }} y)-1, (x-1) \sin ({\rm{ \mathsf{ π} }} y), x-1) (10) \boldsymbol{g}=(x-1, (x-1) \sin ({\rm{ \mathsf{ π} }} y), x-1) (11) 则
\boldsymbol{B}=(x-1, (x-1) \sin ({\rm{ \mathsf{ π} }} y), x-1) (12) 为模型问题(6)~(9)的解。
表 2为MDSC2程序中磁扩散方程的离散格式在不同网格规模与不同夹角情况下数值解的绝对误差和精度。可知, 无论计算区域的边界是否有扰动，边界扰动有多大，MDSC2程序中磁扩散方程的离散格式都是正确的，且具有二阶饱和误差阶，可用于磁流体力学程序的集成。
表 2 MDSC2程序中磁扩散方程离散格式的逼近性Table 2. Approximation of the discrete scheme of magnetic diffusion equation in MDSC2 codeα/(°) 32×32 grid 64×64 grid 128×128 grid 256×256 grid error rate error rate error rate error rate 0 1.90×10-4 - 4.74×10-5 4.0 1.19×10-5 4.0 2.97×10-6 4.0 30 2.60×10-4 - 6.61×10-5 3.9 1.67×10-5 4.0 4.20×10-6 4.0 60 4.93×10-4 - 1.29×10-4 3.8 3.31×10-5 3.9 8.39×10-6 3.9 80 1.60×10-3 - 4.36×10-4 3.7 1.14×10-4 3.8 2.94×10-5 3.9 2.3 MDSC2程序的验证
由于磁流体力学方程组比较复杂，难以给出精确解和人为解。因此，我们采用与已知程序结果比较的方法来验证MDSC2程序的正确性。为此，采用MDSC2程序，对美国Sandia国家实验室Z装置上Z2434发次实验进行了模拟。实验中铝飞片的厚度为2.004 mm。对于2.004 mm的铝飞片模型，文献[5]给出了两种驱动源：一种是根据实验测量电流计算的初始猜测磁感应强度，一种是根据实验结果优化的磁感应强度。图 3是以初始猜测磁感应强度作为驱动源，MDSC2程序模拟的2.004 mm厚铝飞片自由面速度历史；图 4是以优化的磁感应强度作为驱动源，MDSC2程序模拟的2.004 mm厚铝飞片自由面速度历史。图 3、图 4中，实线是文献[5]MHD程序的飞片自由面速度历史；虚线是MDSC2程序模拟的飞片自由面速度历史。显然，无论是以初始猜测磁感应强度，还是以优化的磁感应强度作为驱动源，MDSC2程序模拟的飞片自由面速度都和文献MHD程序模拟结果相一致。因此，MDSC2程序正确求解了磁流体力学方程组(1)~(4)。
图 3 初始猜测磁场为驱动源模拟的飞片自由面速度Figure 3. Simulated velocity histories (initially guessed B field as driving source)
图 4 优化磁场为驱动源模拟的飞片自由面速度Figure 4. Simulated velocity histories (optimized B field as driving source)对于MDSC2程序中弹塑性求解部分的验证，采用与弹塑性流体力学程序(EHD)[23]计算结果相比较的方法进行验证。对于初始密度为2.7×103 kg/m3、温度为300 K、厚1 mm的铝平面飞片，给定100 m/s的流入速度，EHD程序和MDSC2程序模拟的80 ns时的速度分布比较如图 5所示。由图可知，MDSC2程序计算的速度和弹塑性流体力学程序EHD计算的速度相一致。MDSC2程序能正确模拟固体物质的弹塑性行为。
图 5 EHD程序和MDSC2程序模拟的80 ns时的速度分布图Figure 5. Velocity distribution of flyer plate(EHD vs MDSC2)3. MDSC2程序的确认
确认是指物理模型及相关数据是否能精确表现所预期的物理过程。确认过程中并不考虑实验数据的精度，只是认为实验测量忠实地反映了现实世界的实际状态。MDSC2程序确认的方法是MDSC2程序计算结果和实验结果的比较。程序模拟结果与实验测量结果相一致时，数值模拟就能正确反映现实世界的物理规律。下面就磁驱动单侧飞片发射实验、磁驱动双侧飞片发射实验、磁驱动套筒内爆实验进行MDSC2程序的确认。
采用MDSC2程序和磁驱动飞片边界磁场公式B=fμ0I(t)/(g(t)+gm(t)+W)(B是磁场强度，f为电流有效系数，I(t)是电流，g(t)为阴阳电极极板之间的间隙，gm(t)为飞片电流加载端的烧蚀深度，W为电极板的宽度)，对大电流脉冲装置PTS[24]上的PTS-061发次磁驱动单侧飞片实验进行了模拟。对于PTS-061发次实验，阴、阳电极极板的宽度为15 mm，阴、阳电极极板之间的初始间隙为2 mm，阳极板上嵌入厚0.972 mm的椭圆形飞片，实验测量的驱动电流历史如图 6所示。图 7为模拟的PTS-061发次实验中铝飞片的自由面速度历史，MDSC2程序模拟的磁驱动单侧飞片实验和实验测量结果相一致。这表明MDSC2程序能正确模拟磁驱动单侧飞片发射实验。
图 7 模拟的PTS-061发次实验的速度历史Figure 7. Simulated and measured velocity histories of shot PTS-061采用MDSC2程序和磁驱动飞片边界磁场公式B=fμ0I(t)/(g(t)+gm(t)+W)，对PTS装置上PTS-122磁驱动双侧飞片发射实验进行了模拟。在PTS-122发次实验中，阴、阳电极极板的宽度为9 mm，阴、阳电极极板之间的初始间隙为1.2 mm，阴、阳电极极板上分别嵌入厚0.962，1.57 mm的圆形飞片，实验测量的驱动电流历史如图 8所示。图 9为模拟的PTS-122发次双侧飞片实验两侧飞片的自由面速度历史。图 9中，实线为实验测量的0.962 mm的飞片自由面速度历史；虚线为模拟的0.962 mm的飞片自由面速度历史；虚点线为实验测量的厚1.57 mm飞片自由面速度历史；点线为模拟的1.57 mm的飞片自由面速度历史。图 9显示MDSC2程序模拟的磁驱动双侧飞片自由面速度和实验测量结果相一致。这表明MDSC2程序能正确模拟磁驱动双侧飞片发射实验。
图 9 模拟的PTS-122发次实验的速度历史Figure 9. Simulated and measured velocity histories of shot PTS-122采用MDSC2程序和磁驱动固体套筒边界磁场公式B=μ0I(t)/(2πr)(r为固体套筒外界面上点的径向半径)，对FP-1装置[25]上的磁驱动套筒实验进行了模拟。铝套筒的外半径为1.3 cm，厚度为0.05 cm，高为1.6 cm，总质量为1.72 g。初始时刻外半径设置了8个周期的正弦扰动，初始振幅是0.1 mm。图 10为磁驱动铝套筒实验测量电流历史。图 11为模拟的铝套筒平均内外半径历史。图 11中粗实线是模拟的套筒平均内半径历史；细实线是模拟的套筒平均外半径历史；方点、圆点分别是11.4 μs时实验测量的平均内、外半径值；上三角点、下三角点分别是13 μs时实验测量的平均内、外半径值。从图可知，MDSC2程序模拟的磁驱动铝套筒实验的模拟结果和实验测量结果相一致。这表明MDSC2程序能正确模拟磁驱动固体套筒实验。
4. 结论
本文采用人为解比较方法和网格收敛性研究方法，对磁驱动二维数值模拟程序MDSC2的热扩散、磁扩散程序模块进行了程序验证，数值模拟表明，MDSC2程序中热扩散、磁扩散等物理过程的程序实现是正确的，且具有二阶饱和误差阶。采用与文献程序比较的方法，对不同的计算模型进行了模拟，MDSC2程序的模拟结果与文献流体力学、磁流体力学程序的模拟结果相一致。对不同类型的磁驱动实验进行了程序确认，MDSC2程序能正确模拟磁驱动单侧飞片发射、磁驱动双侧飞片发射和磁驱动固体套筒等磁驱动实验。MDSC2程序对磁驱动实验的正确模拟将有助于大电流脉冲功率技术、高能量密度物理、材料的高压状态方程和武器物理等领域的研究能力提升。
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图 3 初始猜测磁场为驱动源模拟的飞片自由面速度
Figure 3. Simulated velocity histories (initially guessed B field as driving source)
图 4 优化磁场为驱动源模拟的飞片自由面速度
Figure 4. Simulated velocity histories (optimized B field as driving source)
图 5 EHD程序和MDSC2程序模拟的80 ns时的速度分布图
Figure 5. Velocity distribution of flyer plate(EHD vs MDSC2)
图 7 模拟的PTS-061发次实验的速度历史
Figure 7. Simulated and measured velocity histories of shot PTS-061
图 9 模拟的PTS-122发次实验的速度历史
Figure 9. Simulated and measured velocity histories of shot PTS-122
表 1 MDSC2程序中热扩散离散格式的逼近性
Table 1. Approximation of the discrete scheme of thermal diffusion equation in MDSC2 code
α/(°) 32×32 grid 64×64 grid 128×128 grid 256×256 grid error rate error rate error rate error rate 0 6.40×10-4 - 1.60×10-5 4.0 4.00×10-6 4.0 1.00×10-6 4.0 30 3.89×10-4 - 9.94×10-5 3.9 2.52×10-5 3.9 6.35×10-6 4.0 60 1.70×10-3 - 4.45×10-4 3.8 1.14×10-4 3.9 2.87×10-5 4.0 80 1.80×10-2 - 4.71×10-3 3.8 1.20×10-3 3.8 3.04×10-4 4.0 
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表 2 MDSC2程序中磁扩散方程离散格式的逼近性
Table 2. Approximation of the discrete scheme of magnetic diffusion equation in MDSC2 code
α/(°) 32×32 grid 64×64 grid 128×128 grid 256×256 grid error rate error rate error rate error rate 0 1.90×10-4 - 4.74×10-5 4.0 1.19×10-5 4.0 2.97×10-6 4.0 30 2.60×10-4 - 6.61×10-5 3.9 1.67×10-5 4.0 4.20×10-6 4.0 60 4.93×10-4 - 1.29×10-4 3.8 3.31×10-5 3.9 8.39×10-6 3.9 80 1.60×10-3 - 4.36×10-4 3.7 1.14×10-4 3.8 2.94×10-5 3.9
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