Quality quantification in pulsed power supply for synchrotron magnet
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摘要: 同步加速器中，磁铁励磁电流高频的纹波误差能够引起磁场纹波，进而导致束流接受度降低。励磁电流低频的跟踪误差会影响磁场与束流能量的匹配程度，同时会引起束流闭合轨道畸变。为了从以上两方面评估励磁电流误差对于束流的影响，研究了HIAF BRing二极磁铁磁场纹波与励磁电流纹波之间的关系，并提出了一套基于高低频分离的脉冲励磁电流质量量化方法。该方法利用高斯平滑处理得到励磁电流低频的跟踪误差分量和高频的纹波误差分量，采用三倍标准差作为励磁电流跟踪性能及纹波质量的量化指标。方法中低通滤波器参数由磁铁磁场纹波与励磁电流纹波的响应关系确定，该方法同时准确地量化评估了磁场纹波质量。此外，由该方法得到的电流跟踪误差波形能够应用于同步加速器励磁电源的给定修正，进而提高磁场与束流能量匹配程度。Abstract: In synchrotrons, the high-frequency ripple error of magnet excitation current causes magnetic field ripple, which leads to decreased beam acceptance. The low-frequency tracking error of the excitation current would affect the matching degree of magnetic field and beam energy, which would cause the closed orbit distortion of the beam. The correlation between magnetic field ripple and excitation current ripple of HIAF BRing dipole magnet is studied in this paper. The current quality quantification methods based on high and low-frequency separation are proposed, which evaluate the effect of excitation current error on the beam. The low-frequency tracking error and high-frequency ripple error of the excitation current are obtained by Gaussian smoothing. Three times the standard deviation is used as the quantification indicator of the excitation current in terms of ripple and tracking error. Since parameters of the low-pass filter are determined by the response relationship between magnetic field ripple and excitation current ripple, this method could accurately quantify the magnetic field ripple. Th current tracking error waveform could be used to adjust the reference waveform of synchrotron pulse power supplies, improving the matching degree of magnetic field and beam energy.
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Key words:
- tracking error /
- ripple error /
- quantification method /
- pulse power supply /
- synchrotron
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系统电磁脉冲(SGEMP)是核爆过程产生的X射线辐照在飞行器表面，由于光电效应产生光电子，进而产生表面电流和空间电磁场等的效应[1-3]。圆柱腔体可看做卫星体的简化模型，是SGEMP研究的典型几何结构，国内外对腔体内外的SGEMP研究已有很多报道[4-7]。在实际情况中，大多SGEMP效应属于三维问题，为发展三维SGEMP模拟能力，开发了三维全电磁粒子模拟（PIC）程序，并对圆柱腔体的外SGEMP进行了模拟研究[8]，为进一步研究内SGEMP，本文首先模拟研究了具有旋转对称性的SGEMP模型——光电子由圆柱端面向腔体内发射引起的内SGEMP，并和文献结果进行了比对[5]，进而用该程序模拟研究了X射线垂直侧面入射的圆柱腔的三维内SGEMP。
1. 圆柱腔内SGEMP的模拟校验
1.1 计算模型及计算条件
作为校验，首先用三维PIC程序计算了文献中模型[5]。文献计算模型如图1所示，圆柱空腔，半径为10 cm,长为80 cm，X 射线从一端面垂直入射。由于从端面入射时的对称性，文献中用二维柱坐标模型处理该问题。假设X射线能谱不变，产生的光电子能谱也为单能，垂直入射的X 射线与材料作用后发射的光电子为余弦角分布，即电子分布与cosθ成正比（θ为电子发射方向与发射面法线的夹角）。
图 1 端面发射的圆柱腔模型Figure 1. Cylinder cavity model of photoelectrons emitted from top surface发射的光电子时间谱采用高斯波形，其归一化时间谱为
N(t)=exp[−((t−tmax)/α)2] (1) 式中： t 为时间； tmax为高斯波峰值对应的时间；α为有时间量纲的常数。取tmax=16 ns，α=8 ns。光电子能量为45 keV，计算时间为45 ns，电子发射数密度为1.6×1012 cm−2 。
由式(1)可得发射的光电子数密度时间谱为
N(t)=N0exp[−((t−tmax)/α)2] (2) 对时间积分可得出
N0 的值，得出发射的电流密度时间函数为I(t)=eN0exp[−((t−tmax)/α)2] (3) 使用三维PIC程序模拟该模型，采用笛卡儿坐标系，每时间步发射的宏粒子数为4000个，宏粒子数的最大权重为1.54×107，电子发射的余弦角分布，在程序中用蒙卡随机抽样方法实现。由于计算资源所限，空间网格大小取为2 mm（文献中网格大小为1 mm），模拟中只计算1/4空间，设置镜面边界条件，也就是电磁场和粒子都使用对称边界条件。
1.2 计算结果及分析
计算模型为1/4圆柱腔模型，通过对称边界条件实现整个圆柱腔的模拟。图2为离发射面不同距离处的Ez波形。由于SGEMP效应的边界层特性，轴向空间电场分为3个区域：边界层处为饱和电场区，发射面和边界层之间为表面电场区，边界层以外为电子的逃逸区。
图2(a)为表面电场区（z=1 mm，r=1 mm）的Ez波形，计算所得Ez最大值为10 MV/m，文献[5]计算值为11 MV/m；图2(b)为饱和电场区（z=9 mm，r=1 mm）的Ez波形，计算所得Ez最大值为2.4 MV/m，文献[5]计算值为3 MV/m；图2(c)为逃逸电场区（z=119 mm，r=1 mm）的Ez波形，计算所得Ez最大值为200 kV/m，文献[5]计算值为100～200 kV/m，逃逸区电场的方向和表面电场区、饱和电场区的电场方向相反。由于所用程序维度和坐标系不同，网格大小和边界条件不同，宏粒子数目及余弦角发射的实现方式也可能不同，导致计算结果有些许差别，但也基本吻合，规律一致，说明本PIC程序计算结果正确，可用于SGEMP效应的研究。
2. 圆柱腔内三维SGEMP的数值模拟
2.1 计算模型
腔体为内半径7.5 cm、内高4.5 cm的铝制圆柱腔体，底面中心位于原点，轴线沿z轴正方向。入射X射线选特征温度为2 keV的黑体谱X射线，材料铝的光电产额为
Y=2.98×1012 J−1，X射线源位于圆柱腔外，垂直侧面入射圆柱腔，通过光电效应在受照面（圆柱腔的半个侧面）内表面产生前向运动的光电子，光电子在腔内运动，激发腔内SGEMP电磁场， X射线的时间波形取为正弦平方分布$${\mathit{ \Psi}} (t) = {{\mathit{ \Psi}} _0}{\sin ^2}({\text{π}} t/2\tau)$)$ (4) 式中：
Ψ 为X射线的注量率（J/（m2∙s））;τ 为特征时间参量，0⩽t⩽2τ ，取τ=25ns 。忽略X射线穿过圆柱腔壁的注量和能谱的损失及变化，受照面发射的总光电子数正比于X射线注量，同时还与材料属性有关
Qtot=YAϕ (5) 式中：Y 为光电产额，与X射线和材料特性相关；Q tot为总发射电荷(C)；A为发射面的面积 (m２)；ϕ 为 X 射线注量（J/m2）。
应用三维PIC程序研究圆柱腔体的内SGEMP场，光电流的时间谱等同于X射线的时间谱
$$ I(t) = {I_0}{\sin ^2}({\text{π}} t/2\tau)$)$ (6) τ 取为25 ns，电子发射的总时间t=50 ns，总发射流可由式（5）得出，由式（4）和式（5）可求得I0的值。垂直表面入射的黑体谱X射线产生的光电子的能谱为指数谱，空间分布为余弦角分布。此模型受照面为曲面，为简化计算，假设受照面各点发射电子的能谱相同，仍为指数谱，空间分布仍为余弦角分布。仍采用笛卡尔坐标系，因发射面是曲面，电子发射速度单独采用局部坐标系，曲面法线为x方向。
2.2 计算结果和分析
首先取X射线注量为100 J/m2，图3给出不同时刻电子的空间分布，由图3可知，初始时刻在x大于0的半个侧面开始发射电子，至3.8 ns时电子已充满整个圆柱腔。图4（a）为发射电流波形，与设定时间相符合，电流在25 ns时取得最大值，约为20 A；圆柱腔体同时构成了电流吸收的外边界，图4（b）为吸收的电流波形，吸收电流最大值约为17 A，对比图4（a）和图4（b）可见，吸收电流波形相对于发射电流略有展宽，其波形时间比发射电流时间略有延迟，最大值变小，波形尾部延长，这是因为腔体发射电子后留下等量的正电荷，对电子运动起到一定的阻碍作用，当发射电流足够大的时候会形成空间电荷层，进一步使得电子运动变慢，导致吸收电流波形展宽最大值变小。
对三维电场分布进行观测分析，可得出电子发射面附近存在很强的电场，且越靠近发射面沿轴向的中线电场越强，在发射面的中心点电场最强。这是由于空间电荷效应，电荷聚集在发射面附近造成的，同时由于各点的电场都是所有电荷在此点电场的叠加，由矢量合成可得出发射面的中心点附近电场最强。图5（a）给出24 ns时通过圆柱腔中心点的横截面（z=22.5 cm）即中截面上的电场分布，可清楚地看出发射面附近的电场远高于空间电场，图5（b）给出24 ns时中截面上沿y=0直径的电场随x的变化波形，定量地显示出y=0直径与电子发射面相交点即发射面中心点附近电场最强，电场幅值超过150 kV/m。图6给出电场最强点，即发射面中心点附近的各个电场分量的时间波形，由图6可见电场主要沿法向x方向，Ex最高也为150 kV/m以上，与总电场幅值相当。
图 5 t=24 ns时z=22.5 cm的切面上和z=22.5 cm，y=0直线上的电场分布Figure 5. Distribution of electric field in plane of z=22.5 cm and on line of z=22.5 cm，y=0 (t=24 ns)
图 6 坐标点x=7.4 cm, y=0, z=2.3 cm处的电场波形Figure 6. Waveform of electric field at point of x=7.4 cm, y=0, z=2.3 cm对三维磁场分布进行观测分析，同样得出电子发射面附近磁场较强，这是因为磁场是由电流产生的，而由于空间电荷效应，腔内空间电流远小于发射面附近的发射电流。进一步分析可得磁场由发射面中心向边线逐渐增强，由于边角效应，发射面与端面交界边线磁场要高于发射面的侧面边线磁场，磁场在发射面与端面交界边线的中点最强。图7（a）给出24 ns时圆柱腔靠近端面的横截面（z=0.1 cm）的磁场分布，图7（b）给出24 ns时此横截面上沿y=0直径的磁场随x的变化波形，定量地显示出y=0直径与电子发射面相交点即发射面与端面交界边线的中点附近磁场最强，约为3.1×10−5 T。图8（a）给出24 ns时圆柱腔通过发射面轴向中线的纵剖面（y=0）的磁场分布，图8（b）给出24 ns时此纵剖面上沿x=7.4 cm直线上的磁场随z的变化，定量地显示出x=7.4 cm直线上，即发射面沿轴向的中线附近磁场沿z向的分布，磁场在发射面中心点附近最弱，约为2.0×10−6 T，越靠近两端面越强，和端面交界处最强，约为3.1×10−5 T，与图7（b）一致。图9给出磁场最强点，即发射面与端面交界边线的中点附近各个磁场分量的时间波形，由图9可见磁场主要沿角向，与发射电流方向垂直，且符合安培环路定理，角向磁场分量By最高可达3.0×10−5 T，接近总磁场幅值。
图 7 t=24 ns，z=0.1 cm切面上和z=0.1 cm，y=0直线上的磁场分布Figure 7. Distribution of magnetic field in plane of z=0.1 cm and on line of z =0.1 cm，y=0，t=24 ns
图 8 t=24 ns，y=0的切面上和y=0，x=7.4 cm 直线上的磁场分布Figure 8. Distribution of magnetic field in plane of y=0 and on line of y=0，x=7.4 cm，t=24 ns
图 9 坐标点x=7.4 cm, y=0, z=0.1 cm处的磁场波形Figure 9. Waveform of magnetic field at point of x=7.4 cm, y=0, z=0.1 cm保持X射线能谱不变，取不同的注量，分别为10，100，1000 J/m2，进行模拟计算，图10为3种不同注量计算结果的对比，图10（a）为24 ns时圆柱腔中截面（z=22.5 cm）上电荷密度的空间分布，可以清楚地看到，随着X射线注量增加，发射电流密度增大，空间电荷限制效应越来越强，表现为电荷越来越集中在发射面附近，即由于空间电荷效应形成的电荷边界层越来越薄。图10（b）为24 ns时电荷密度沿中截面上y=0直径的分布，可进一步直观定量地看出电荷密度沿直径的空间分布，当注量由10 J/m2变为100 J/m2时，发射面附近电荷密度的最大值由0.025 mC/m3变为0.25 mC/m3，为线性变化；当注量由100 J/m2变为1000 J/m2时，发射面附近电荷密度的最大值由0.25 mC/m3变为1.5 mC/m3，呈现非线性变化，这是因为在强的空间电荷限制下，越来越多的电荷很快返回发射面，导致空间电荷密度增长变慢[9-10]。图10（c）为24 ns时电场幅值沿中截面上y=0直径的分布，其空间分布规律和电荷密度分布规律基本相同，对应注量10，100，1000 J/m2，边界层电场的最大幅值分别为25，150，600 kV/m，可见，随着注量增加，电场的非线性效应也越来越明显。
图 10 X射线注量分别为10，100，1000 J/m2的模拟结果对比Figure 10. Simulation results for different X-ray fluences of 10，100，1000 J/m23. 结 论
开发应用三维PIC程序，模拟研究圆柱腔内三维SGEMP。通过与文献模型对比，验证了程序的正确性，进而模拟研究X射线垂直侧面入射时圆柱腔的内SGEMP：腔体为内半径7.5 cm、内高4.5 cm的铝制圆柱腔。当入射X射线为特征温度为2 keV的黑体谱X射线，注量为100 J/m2时，可得发射电流最大值为20 A，电子发射面附近电场较强，高于空间电场，且越靠近发射面沿轴向的中线电场越强，在发射面的中心点电场最强，电场主要沿法向方向，最高可达150 kV/m以上；电子发射面附近磁场较强，也高于空间磁场，磁场由发射面中心向边线逐渐增强，在发射面与端面交界边线的中点附近最强，磁场主要沿角向方向，最高可达3.0×10−5 T。并对不同X射线注量，空间电荷效应限制下的电荷和电场的空间分布情况进行了初步探讨。
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图 1 BRing二极铁电源样机典型工作波形、电流输出、电流误差、跟踪误差
Figure 1. Typical operating waveform, output current, current error and tracking error of the BRing dipole-magnet power supply prototype
图 2 电流纹波与跟踪质量以及磁场纹波质量量化方法流程图
Figure 2. Flow chart of ripple and tracking quantification method for the current and ripple quantification method for the magnetic field
图 3 恒流励磁实验与脉冲励磁实验平台示意图
Figure 3. Schematic diagram of constant current excitation and pulse current excitation experiment platform
图 4 归一化磁场慢漂消除，1.6 kHz滤波前后归一化磁场与电流纹波及纹波直方图变化（E13运行模式）
Figure 4. Low-frequency drift elimination of normalized magnetic field, and variation of ripple and histograms of normalized magnetic field and excitation current before and after filtering with cut-off frequency of 1.6 kHz
图 5 五种工作模式下磁场纹波和励磁电流纹波量化指标重复测试结果 (1.6 kHz截止频率低通滤波)
Figure 5. Repeated testing result of quantification indicators of magnetic field and excitation current ripple under 5 operation mode (low pass filtering with cut-off frequency of 1.6 kHz)
图 6 不同PI参数下电流给定波形、电流误差波形及电流跟踪误差波形
Figure 6. Current reference waveforms, current error waveforms, and current tracking error waveforms under different PI regulator parameters
图 7 不同PI参数下输出电流波形、电流纹波误差波形
Figure 7. Output current waveforms, current ripple error waveforms under different PI regulator parameters
图 8 不同PI参数下的电流纹波误差及电流跟踪误差三倍标准差指标
Figure 8. Three times the standard deviation of current ripple error and tracking error under different PI regulator parameters
表 1 BRing二极铁电源样机设计参数
Table 1. Design parameters of BRing dipole-magnet power supply prototype
maximum current Imax/A maximum current rise rate ˙Imax/(A/s) load inductance LM/mH load resistor RM/mΩ ＞ 3900 ＞ 38000 116 36.4 
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表 2 磁场与励磁电流质量测量实验参数
Table 2. Test parameters of magnetic field and excitation current quality measurement
test parameter constant current excitation tests pulse excitation tests excitation current amplitude 400 A 3900 Arated magnetic field of dipole-magnet
deflection radius of dipole-magnet
deviation angle of dipole-magnet1.58 T
21.5 m
7.5°1.58 T
21.5 m
7.5°deflection angle of the magnetic coil 10.14° / effective area of the magnetic coil (sc) 0.017 m2 / number of turns of the magnetic coil (nc) 20 turns / sampling rate of ADC 200 kHz 100 kHz bits of ADC 24 bit 18 bit voltage range of ADC [−10, 10] V [−10, 10] V measuring current range of DCCT [0, 4000 ] A[0, 6000 ] Acurrent voltage ratio of DCCT 400 A/V 600 A/V
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