托卡马克装置通过共振磁扰动（RMP）线圈电源快速产生四象限运行、响应速度快、纹波含量低的大电流，从而快速建立能够约束等离子体位形、密度的磁场以解决装置中磁流体不稳定性问题的控制^[1-2]。但由于电源系统内部的不确定因素以及托卡马克真空室内部复杂电磁环境中互感耦合降低RMP线圈电源系统的输出性能，使得现有PI控制器下的RMP线圈电源输出的响应速度与抗扰能力未能达到最优。PI控制器虽具有较好的实践效果，但其对扰动的抑制作用有限，鲁棒性较差。此外比例积分微分（PID）技术的各种改进以及与前馈的结合或串级控制等都存在一定的局限性和瓶颈问题^[3]。近年来，越来越多的科研人员对先进控制方法进行深入研究，实现了控制器性能的提升以及抗干扰的目标。韩京清教授等从理论上提出一种二阶LADRC代替PI控制的整定方法，且更好地抑制了超调和量测噪声^[4]，该控制方法不需要详细数学模型提出的LADRC控制策略也能够广泛容忍被控对象模型参数的变化，同时保持稳定性^[5]。

关于托卡马克聚变装置特种电源的控制策略相关研究较少，黄海宏等提出基于Lunberger观测器状态重构的模型预测控制（MPC）优化级-并联H桥电源电流跟踪的动态特性^[6]，但MPC基于滚动优化计算量大，在实时控制中难以满足该类电源时效性要求；非线性自抗扰技术基于观测器的补偿可提高被控对象动态性能和抗扰性能，对扰动的抑制也不需要测量扰动或者事先了解扰动的模型，但是参数整定复杂难于实现^[7]。王振尚等在新一代极向场磁体电源的三相PWM整流器中提出基于二阶LADRC的控制策略在负载功率突变时实现鲁棒和快速响应的稳压控制^[8]，但没有考虑模型的部分已知信息。在LADRC控制中添加模型部分已知信息不仅可以减少参数配置的试错，而且能够在降低观测器带宽的同时避免引入高频噪声信号，实现对被控对象相同的控制效果。

为此本文基于部分电源系统已知模型参数，设计四阶LADRC控制器并探讨输出动态性能与参数配置的关系，最后将其应用到托卡马克装置RMP线圈电源系统电力模型中，通过仿真验证了本文所设计的控制器与PI控制器输出电流的动态性能以及对扰动的抗扰性对比，性能最优。

1.   RMP线圈电源数学模型

级-并联H桥形式的电源系统因可提高输出容量与电源系统等效开关频率的优势，广泛应用在聚变装置磁体电源系统中^[9]。本文以DⅢ-D托卡马克装置RMP线圈电源为例进行设计，其输电源拓扑结构如图1所示。

图  1  DⅢ-D托卡马克RMP线圈电源拓扑图

Figure  1.  RMP coil power topology of DⅢ-D tokamak

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单个电源模块能在0～1 kHz范围内任意输出最大电流为±2.66 kA的电流，总输出电流值为±16 kA。要求输出电流的响应速度≤0.35 ms，电流上升率不大于5 kA/ms。为满足输出等级要求，电源采用2串3并的结构，每个IGBT开关频率为10 kHz，采用单极倍频载波移相调制（CPS-PWM）技术提高RMP线圈电源等效开关频率为120 kHz。

由于设计LADRC控制策略不需要详细的数学模型^[5]，为此建立RMP线圈电源输出模型如图2所示：文献[10]表明由于RMP线圈电源的RC补偿环节仅抑制RMP电源输出在高频段的尖峰信号，对0～1 kHz范围的输出信号无影响，因此建立RMP线圈电源的输出模型时可忽略RC补偿环节带来的影响。

图  2  RMP线圈电源输出结构图

Figure  2.  RMP coil power output structure

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根据图2可得RMP线圈电源系统的基尔霍夫方程为

式中：$ {u_{{\text{in}}}} $是由IGBT组成的级-并联H桥所输出的PWM脉冲序列电压值；$ {i_0} $是负载线圈两端电流；r和L分别是线路阻抗和滤波电感的电感值；$ {r_0} $和$ {L_0} $分别是线圈阻值和电感大小。选取滤波电容电压$ {u_{\mathrm{c}}} $和滤波电感电流$ {i_{\mathrm{L}}} $作为状态变量、$ {i_0} $作为输出变量、$ {u_{{\mathrm{in}}}} $作为输入变量对脉冲电源进行状态空间建模，可得

得出输出$ {i}_{{\mathrm{o}}} $与输入$ {u_{{\text{in}}}} $之间的传递函数关系式为

根据式（3）可确定RMP线圈电源系统的阶数为三阶，输入放大系数$ {b_0} = 1/CL{L_0} $，参数配置时$ {b_0} $越接近真实值越好^[11-12]。

2.   基于扩张状态观测器的电流环设计

由于已经确定RMP线圈电源的数学模型阶数，因此可设计基于部分模型参数已知的四阶线性自抗扰控制器，RMP线圈电源的电流环控制器设计如图3所示。该LADRC电流环控制器件主要由3个部分组成：微分跟踪器（TD）、线性状态误差反馈控制律（LSEF）、线性扩张状态观测器（LESO）。

图  3  四阶线性自抗扰模型

Figure  3.  Diagram of fourth order linear active disturbance rejection

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图3中r为RMP线圈电源的输入给定信号；$ \dot r $、$\ddot r $分别为给定信号的一阶导数，二阶导数；计算出来的u为电源系统的输入电压$ {u_{{\text{in}}}} $（限幅为±500 V）作为调制波与载波比较产生PWM信号；y为电源系统的输出电流$ {i_0} $；$ {\hat x_1} $、${\hat x_2} $、${\hat x_3} $为LESO的观测量系统状态量$ {\hat x_1} \to {i_0} $，$ {\hat x_2} \to {\dot i_0} $，$ {\hat x_3} \to {\ddot i_{\mathrm{o}}} $；$ \hat f $为LESO估计出的系统新的状态量即系统广义总扰动；h为电源系统广义总扰动的导数。

2.1   跟踪微分器（TD）设计

TD为根据RMP电源负载输出电流的承受能力（电流上升率不大于5 kA/ms）事先安排的合理过渡过程，可以有效解决超调与快速性之间的矛盾，该设计不仅可以尽快跟踪输入信号，而且能合理地提取出给定信号的微分品质^[13]。所提取的微分信号加入到前馈环节实现前馈补偿以提高RMP电源系统的控制性能，降低稳态误差。为避免容易出现的高频振荡和滤波效果差的问题，设计采用快速控制综合函数F快速跟踪给电流定信号，数学表达式如下

式中：r为衡量响应快慢的速度因子，r越大跟踪速度越快；h为滤波因子，h越小滤除噪声效果越好。TD的离散形式为

式中：T为电源系统的采样时间。

2.2   部分模型已知的LESO设计

设计LADRC控制策略的核心是通过LESO估计扰动扩张为系统新的状态，然后通过LSEF补偿，考虑部分模型已知的RMP线圈电源系统被控对象模型可描述为

式中：y为输出电流$ {i_0} $；u为H桥输入电压；$ {a_3} = (CL{r_0} + C{L_0}r)/CL{L_0} $、$ {a_2} = (Cr{r_0} + L + {L_0})/CL{L_0} $、$ {a_1} = (r + {r_0})/CL{L_0} $分别为RMP线圈电源系统的系统参数；w为系统未建模部分即未知扰动。

令$ {x_1} = y $、$ {x_2} = \dot y $、$ {x_3} = \ddot y $，定义方程（6）中与输入u无关的项为RMP线圈电源系统外扰与内扰动之和的广义扰动，即：$ {x_4} = f(\ddot y,\dot y,y,w) = - {a_3}\ddot y - {a_2}\dot y - {a_1}y + w $。RMP线圈电源系统扩张状态后的状态空间方程可描述为

式中：$ {\boldsymbol{A}} = \left[ { $$\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&0&0 \end{array}$$ } \right] $；$ {\boldsymbol{B}} = \left[ { $$\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ {{b_0}} \\ 0 \end{array}$$ } \right] $；$ {\boldsymbol{E}} = \left[ { $$\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}$$ } \right] $；单位矩阵$ {\boldsymbol{C}} = {\mathrm{eye}}(4) $；$ {\boldsymbol{D}} = 0 $；$ h = {\dot x_4} = \dot f(\ddot y,\dot y,y,w) $是RMP线圈电源系统扩张状态，建立基于上式（7）的扩张状态观测器（8）

公式（8）展开后为

式中：$ {{\bar {\boldsymbol{A}}}} = {\boldsymbol{A - LC}} = \left[ { $$\begin{array}{*{20}{c}} { - {l_1}}&1&0&0 \\ { - {l_2}}&0&1&0 \\ { - {l_3}}&0&0&1 \\ { - {l_4}}&0&0&0 \end{array}$$ } \right] $；$ {{\bar {\boldsymbol{B}}}} = \left[ { $$\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} 0 \\ 0 \\ {b_0} \\ 0 \\ \end{gathered} &\begin{gathered} {l_1} \\ {l_2} \\ {l_3} \\ {l_4} \\ \end{gathered} &\begin{gathered} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{gathered} \end{array}$$ } \right] $；$ {{\bar {\boldsymbol{u}}}} = {\left[ { $$\begin{array}{*{20}{c}} u&y&h \end{array}$$ } \right]^{\mathrm{T}}} $；$ {\boldsymbol{C}} = {\mathrm{eye}}(4) $；$ {\boldsymbol{D}}=0 $。设计合适的观测器 增益矩阵$ {\boldsymbol{L}} = {\left[ { $$\begin{array}{*{20}{c}} {{l_1}}&{{l_2}}&{{l_3}}&{{l_4}} \end{array}$$ } \right]^{\mathrm{T}}} $，实现对系统中各变量的实时跟踪，即$ {\hat x_1} \to y,{\hat x_2} \to \dot y,{\hat x_3} \to \ddot y,{\hat x_4} \to f(\ddot y,\dot y,y,w) $。进一步求得增益矩阵的特征方程$ \lambda (s) = \left| {s{\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{(A - LC)}}} \right| $，将特征方程的极点配置在观测器带宽$ {w_{\text{o}}} $上，可实现对系统中各个变量的实时跟踪且LESO的设计变得简单，使得观测器增益矩阵$ {\boldsymbol{L}} $与观测器带宽$ {w_{\text{o}}} $唯一相关，起到简化设计效果，则有

设计LESO时需要考虑观测带宽$ {w_{\text{o}}} $的上下限，由于RMP电源系统的等效开关频率为120 kHz以及输出电流信号频率范围为0～1 kHz。因此LESO的观测带宽$ {w_{\text{o}}} $应能观测1 kHz的信号，且遵循电源系统带宽上限不能无限增大的规则^[14]。

2.3   LSEF设计

由于LESO对RMP线圈电源系统内部和外部扰动进行了估计与补偿，因此在设计控制律时相较于传统PID中为消除静差而设计的积分器可省略，LSEF可简化设计为PD²的组合形式。对于三阶系统，可采用的PD²控制律为

式中：$ {k_{\text{p}}},{k_{\text{d}}},{k_{{\text{dd}}}} $为所需要设计的LSEF增益，可得LSEF的闭环传递函数为

增益矩阵$ {\boldsymbol{K}} = {\left[ { $$\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{\text{p}}}}&{{k_{\text{d}}}}&{{k_{{\text{dd}}}}} \end{array}$$ } \right]^{\mathrm{T}}} $，为简化设计将$ {\boldsymbol{K}} $与控制器带宽$ {w_{\text{c}}} $唯一相关，经过参数化得

综上，LADRC控制器参数的选取可简化为对LSEF带宽$ {w_{\text{c}}} $、LESO带宽$ {w_{\text{o}}} $以及$ {b_0} $的选择，工程上一般有$ {w_{\text{o}}} = (3 \sim 5){w_{\text{c}}} $可进一步简化LADRC的参数配置，本文选择$ {w_{\text{o}}} = 5{w_{\text{c}}} $进行参数配置。

3.   LADRC的闭环性能分析

从RMP线圈电源负载参数中选取一套参数为$ r = 1 $ μΩ、$ L = 15 $ μH、$ C = 10 $ μF、$ {L_0} = 100 $ μH、$ {r_0} = 0.01 $ Ω，代入公式（3）得出不同LSEF控制器带宽$ {w_{\text{c}}} $情况下，RMP线圈电源系统输出电流与给定信号之间的闭环伯德图如图4所示。由图4可知设计的RMP线圈电源系统的稳定裕度与幅值裕度在$ {w_{\text{c}}} $大于1 kHz的情况下均满足工程要求，且随着$ {w_{\text{c}}} $的增大电源系统的截止频率也逐渐增大。

图  4  不同$ {w_{\text{c}}} $情况下的电源系统闭环伯德图

Figure  4.  Closed-loop Bode diagram of power system under different $ {w_{\mathrm{c}}} $ conditions

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但选择较大的$ {w_{\text{c}}} $电源系统对高于1 kHz的高频信号不能起到很好的滤除作用，反而会增加系统对高频信号噪声的敏感度（引入高频噪声）。但相关文献指出增大观测器带宽$ {w_{\text{o}}} $可以提升LESO的观测响应速度，因此设计时应尽量避免高增益LESO的同时有效拓展观测器带宽^[15-16]。

4.   仿真验证

由于该RMP线圈电源系统由飞轮发电机组供电，其直流母线电压常面临幅值与频率负载的扰动进而对输出电流的控制造成干扰，同时由于其复杂的工作环境等离子体电流耦合、线圈耦合等致其负载参数发生突变；此外还面临白噪声、量测误差（传感器零漂）等干扰。文献[12]指出ADRC对实际控制对象具有计算机仿真可以代替实物实验的优势。因此本文分别就PI控制方式与LADRC控制方式在SIMULINK平台模拟上述干扰搭建电力系统进行仿真，并采用零阶保持法对LESO进行离散化处理。

4.1   直流母线电压扰动

在直流母线处分别模拟50 Hz、150 Hz、300 Hz的交流脉动电压作为干扰，交流脉动电压幅值为±10 V。图5针对PI和LADRC两种不同控制策略分别仿真两种不同工况的输出，图5（a）为输出电流为±2.66 kA、频率为50 Hz的方波输出，图5（b）为输出电流为±100 A、频率为1 kHz的正弦波输出。不同的是PI控制参数为各自运行工况的最优控制参数，LADRC控制参数为相同控制参数。由图5（b）可知低频给定最优跟踪的PI控制参数下的RMP线圈电源对高频给定信号的跟踪幅值偏差过大，但相同LADRC控制参数无论对低频给定还是对高频给定均能有效跟踪，LADRC控制对控制参数的容错性更强。由图5（a）和图5（b）可知LADRC控制方式与PI控制方式对直流母线电压不稳定所带来的扰动均具有一定的抗扰性能。但LADRC控制方式所获取的电流输出具有更优越的动态特性，能够实现快速无超调控制，响应速度和控制精度均优于PI控制。

图  5  直流母线处模拟不同频率扰动

Figure  5.  Different frequency perturbations are simulated at the DC bus

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4.2   负载突变扰动

由于负载线圈在托卡马克装置内工作环境复杂，等离子体电流互感、线圈耦合等会对负载线圈造成负载侧外部扰动，且由于扰动模型尚不明确，因此图6分别给出了负载突变情况下的LADRC控制器与PI控制器的输出对比，图6（a）在0.004 s时刻负载突变为50 μH，0.006 s恢复正常；图6（b）在0.0012 s时刻负载突变为50 μH，0.002 s恢复正常。结果显示LADRC控制方式下的输出抗扰动效果明显，响应速度更快抗扰动效果更明显。负载突变对输出电流的影响小，幅值波动以及调节时间均优于PI控制。

图  6  模拟负载侧突变扰动

Figure  6.  Simulate load side mutation

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4.3   瞬时测量误差扰动

RMP线圈电源由于线路电压瞬变导致传感器存在瞬时测量误差，因此在输出电流$ {i_0} $处模拟幅值10 A的脉冲信号为量测误差进行仿真，仿真结果如图7所示。图7（a）将在3 ms处模拟时间长为2 ms的脉冲信号作为零漂干扰，图7（b）将在0.6 ms处模拟时间长为1 ms的脉冲信号作为零漂干扰。由图7仿真结果可得ADRC控制器较PI控制器对RMP线圈电源系统的抗零漂干扰时间更短，输出电流幅值波动较PI控制幅值波动不明显。主要原因是因为LADRC控制律反馈的是通过LESO所估计的更加接近真实值的输出电流估计值，而不是依赖于传感器测量的输出电流值。

图  7  输出处模拟瞬时测量误差扰动

Figure  7.  Simulated sensor measurement error at output

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5.   总　结

本文针对托卡马克装置RMP线圈电源单个电源模块的电流闭环控制提出一种基于LADRC的电流控制策略，通过安排过渡过程采用快速控制综合函数提取参考信号微分品质克服PI控制的缺陷，实现电流的快速无超调输出提高电源系统的动态特性。并基于电源系统部分模型参数设计四阶LESO观测补偿系统内外总扰动，增强电源系统抗干扰性能且参数配置简单易于实现（仅需配置LESO带宽$ {w_{\text{o}}} $）。

由闭环性能分析可得该控制策略在同一配置参数下能实现对0～1 kHz范围内的任意电流给定的跟踪，对控制参数的容错性更强。由仿真结果可知LADRC控制较PI控制动态性能更优，具有更快的响应速度和更小的稳态误差，此外，LADRC控制应对RMP电源系统所模拟的内扰和外扰动具有更强的抗干扰性能，响应速度更快抗扰动效果更优，扰动对输出电流影响很小。